Calcolo Esempi

$x e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $x e^{\frac{x}{2}}$ come funzione.

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x e^{\frac{x}{2}} d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{\frac{x}{2}}$ .

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - \int 2 e^{\frac{1}{2} x} d x$

Passaggio 5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x (2 e^{\frac{1}{2} x}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{1}{2} x} d x)$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - (2 \int e^{\frac{x}{2}} d x)$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{\frac{x}{2}} d x$

Passaggio 7

Sia $u = \frac{x}{2}$ . Allora $d u = \frac{1}{2} d x$ , quindi $2 d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = \frac{x}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 7.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int e^{u} \cdot 2 d u$

Passaggio 8.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{u}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 \int 2 e^{u} d u$

Passaggio 9

Poiché $2$ è costante rispetto a $u$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 2 (2 \int e^{u} d u)$

Passaggio 10

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 \int e^{u} d u$

Passaggio 11

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$

Passaggio 12

Riscrivi $x (2 e^{\frac{x}{2}}) - 4 (e^{u} + C)$ come $2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$ .

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{u} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$2 x e^{\frac{x}{2}} - 4 e^{\frac{x}{2}} + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x e^{\frac{1}{2} x} - 4 e^{\frac{1}{2} x} + C$