Calcolo Esempi

$\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Passaggio 4

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - x^{2})}^{3}}} d x$

Passaggio 5

Sia $x = 4 \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = 4 \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $4 \cos (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6

Semplifica i termini.

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Passaggio 6.1

Semplifica $\sqrt{{(16 - {(4 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Passaggio 6.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $4 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (4^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - (16 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.1.3

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $16$ da $16$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) - 16 \sin^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $16$ da $- 16 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.4

Scomponi $16$ da $16 (1) + 16 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(16 \cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.6

Applica la regola del prodotto a $16 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{16^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.7

Eleva $16$ alla potenza di $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Passaggio 6.1.8.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.8.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{4096 \cos^{6} (t)}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.9

Riscrivi $4096 \cos^{6} (t)$ come ${(64 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(64 \cos^{3} (t))}^{2}}} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.1.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{64 \cos^{3} (t)} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $4 \cos (t)$ .

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $4 \cos (t)$ da $64 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{4 \cos (t) (16 \cos^{2} (t))} (4 \cos (t)) d t$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{16 \cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{16}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{16}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{16} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Passaggio 8

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ a $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{16} \int \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 9

Poiché la derivata di $\tan (t)$ è $\sec^{2} (t)$ , l'integrale di $\sec^{2} (t)$ è $\tan (t)$ .

$\frac{1}{16} (\tan (t) + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

$\frac{1}{16} \tan (t) + C$

Passaggio 11

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (\frac{x}{4})$ .

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{x}{4})) + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{{(16 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{16} \tan (\arcsin (\frac{1}{4} x)) + C$