Calcolo Esempi

$\sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$ come funzione.

$f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sin^{3} (x) \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 4

Metti in evidenza $\sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 5

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\sin^{2} (x)$ come $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 6.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 6.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Passaggio 7

Moltiplica $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $- 1 u^{2}$ come $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Passaggio 8.2

Moltiplica $u^{2}$ per $u^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.2.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Passaggio 8.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Passaggio 9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{4}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

$\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sin^{3} (x) \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + \frac{1}{5} \cos^{5} (x) + C$