Calcolo Esempi

$x \sqrt{3 x - 6}$

Passaggio 1

Scrivi $x \sqrt{3 x - 6}$ come funzione.

$f (x) = x \sqrt{3 x - 6}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x \sqrt{3 x - 6} d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sqrt{3 x - 6}$ .

$x (\frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{2}{9}$ e ${(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 5.2

$x$ e $\frac{2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \int \frac{2}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{2}{9}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - (\frac{2}{9} \int {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Passaggio 7

Sia $u = 3 x - 6$ . Allora $d u = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = 3 x - 6$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $3 x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 6]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 7.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 7.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 7.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 7.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 7.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 7.1.4.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 7.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 8

$u^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3} d u$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{9} (\frac{1}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{9}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{3 \cdot 9} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 10.2

Moltiplica $3$ per $9$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Riscrivi $\frac{x (2 {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}})}{9} - \frac{2}{27} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ come $\frac{2}{9} x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{2}{9} x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

$\frac{2}{9}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{9} {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 12.2.2

$\frac{2 x}{9}$ e ${(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2}{27} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $\frac{2}{5}$ per $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 12.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{5 \cdot 27} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 12.2.5

Moltiplica $5$ per $27$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 12.2.6

Per scrivere $- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{9}{9} + C$

Passaggio 12.2.7

$- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{9}{9}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{9} + \frac{- \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Passaggio 12.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{135} u^{\frac{5}{2}} \cdot 9}{9} + C$

Passaggio 12.2.9

$u^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135} \cdot 9}{9} + C$

Passaggio 12.2.10

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 9 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}}{9} + C$

Passaggio 12.2.11

$- 9$ e $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{135}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 9 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{135}}{9} + C$

Passaggio 12.2.12

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 36 u^{\frac{5}{2}}}{135}}{9} + C$

Passaggio 12.2.13

Scomponi $9$ da $- 36 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{135}}{9} + C$

Passaggio 12.2.14

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.2.14.1

Scomponi $9$ da $135$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 (15)}}{9} + C$

Passaggio 12.2.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{9 \cdot 15}}{9} + C$

Passaggio 12.2.14.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Passaggio 12.2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Passaggio 12.2.16

Per scrivere $2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{15}{15}$ .

$\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Passaggio 12.2.17

$2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{15}{15}$ .

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Passaggio 12.2.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} \cdot 15 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Passaggio 12.2.19

Moltiplica $15$ per $2$ .

$\frac{\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9} + C$

Passaggio 12.2.20

Riscrivi $\frac{\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{9}$ come un prodotto.

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} \cdot \frac{1}{9} + C$

Passaggio 12.2.21

Moltiplica $\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15}$ per $\frac{1}{9}$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15 \cdot 9} + C$

Passaggio 12.2.22

Moltiplica $15$ per $9$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Passaggio 13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 6$ .

$\frac{30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}}{135} + C$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 15

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x \sqrt{3 x - 6}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{135} (30 x {(3 x - 6)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(3 x - 6)}^{\frac{5}{2}}) + C$