Calcolo Esempi

$\sin (x) \tan^{2} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\sin (x) \tan^{2} (x)$ come funzione.

$f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sin (x) \tan^{2} (x) d x$

Passaggio 4

Utilizzando l'identità pitagorica, riscrivi $\tan^{2} (x)$ come $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sin (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

$\int - \sin (x) + \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \sin (x) d x + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 9

Semplifica $\sin (x) \sec^{2} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} d x$

Passaggio 9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} d x$

Passaggio 9.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- (- \cos (x) + C) + \int \sin (x) \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Passaggio 9.4

$\sin (x)$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

Passaggio 9.5

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} d x$

Passaggio 9.6

Frazioni separate.

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x$

Passaggio 9.7

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) d x$

Passaggio 9.8

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \int \sec (x) \tan (x) d x$

Passaggio 10

Poiché la derivata di $\sec (x)$ è $\sec (x) \tan (x)$ , l'integrale di $\sec (x) \tan (x)$ è $\sec (x)$ .

$- (- \cos (x) + C) + \sec (x) + C$

Passaggio 11

Semplifica.

$\cos (x) + \sec (x) + C$

Passaggio 12

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sin (x) \tan^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\cos (x) + \sec (x) + C$