Calcolo Esempi

$\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{x^{2}}{2} \cdot \ln (x) - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 4.2

$\frac{x^{2}}{2}$ e $\ln (x)$ .

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{x^{2} \ln (x)}{2} d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int x^{2} \ln (x) d x + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 7

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 8.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 8.3

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3} \cdot \frac{1}{x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 8.4

Moltiplica $\frac{x^{3}}{3}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 8.5

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{3 x} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 8.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.2.1

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 8.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 8.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \int \frac{x^{2}}{3} d x) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{2} d x)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 11

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) + \int - \frac{3}{4} x^{2} d x$

Passaggio 12

Poiché $- \frac{3}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- \frac{3}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} \int x^{2} d x$

Passaggio 13

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{x^{3}}{3} + C)) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 14

Semplifica.

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Passaggio 14.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 14.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + C$

Passaggio 14.2.2

Moltiplica $\frac{x^{3}}{3}$ per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{3 \cdot 4} + C$

Passaggio 14.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3} \cdot 3}{12} + C$

Passaggio 14.2.4

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 \cdot x^{3}}{12} + C$

Passaggio 14.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.5.1

Scomponi $3$ da $3 x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 (x^{3})}{12} + C$

Passaggio 14.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.5.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

Passaggio 14.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{3 x^{3}}{3 \cdot 4} + C$

Passaggio 14.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - \frac{x^{3}}{4} + C$

Passaggio 14.2.6

Per scrivere $\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

Passaggio 14.2.7

$\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9})$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4}{4} - \frac{x^{3}}{4} + C$

Passaggio 14.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) \cdot 4 - x^{3}}{4} + C$

Passaggio 14.2.9

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{4}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Passaggio 14.2.10

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.10.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Passaggio 14.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Passaggio 14.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Passaggio 14.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{2}{1} (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Passaggio 14.2.10.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\frac{2 (\frac{\ln (x) x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{9}) - x^{3}}{4} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} \ln (x)) - \frac{3}{4} x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 (\frac{1}{3} \ln (x) x^{3} - \frac{1}{9} x^{3}) - x^{3}) + C$