Calcolo Esempi

$x^{2} \sqrt{x - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $x^{2} \sqrt{x - 1}$ come funzione.

$f (x) = x^{2} \sqrt{x - 1}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int x^{2} \sqrt{x - 1} d x$

Passaggio 4

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = \sqrt{x - 1}$ .

$x^{2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{2} \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Passaggio 5.2

$x^{2}$ e $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{2}{3} \cdot 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3} \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Passaggio 8

Sia $u = x - 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u = x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 8.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u + 1) d u$

Passaggio 9

Espandi $u^{\frac{3}{2}} (u + 1)$ .

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d u$

Passaggio 9.2

Riordina $u^{\frac{3}{2}}$ e $1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 9.3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 9.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 9.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 9.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 9.7

Somma $3$ e $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 9.8

Moltiplica $u^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int u^{\frac{5}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Passaggio 13

Semplifica.

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Passaggio 13.1

Semplifica.

$\frac{2}{3} x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 13.2

Semplifica.

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Passaggio 13.2.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 13.2.2

$\frac{2 x^{2}}{3}$ e ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Passaggio 13.2.3

Per scrivere $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Passaggio 13.2.4

$- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 13.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 13.2.6

$\frac{2}{7}$ e $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 13.2.7

$\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 13.2.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Passaggio 13.2.9

$- 3$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Passaggio 13.2.10

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Passaggio 13.2.11

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $3$ .

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Passaggio 13.2.11.1

Scomponi $3$ da $- 12$ .

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Passaggio 13.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 13.2.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Passaggio 13.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Passaggio 13.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Passaggio 13.2.11.2.4

Dividi $- 4$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Passaggio 14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$\frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Passaggio 15

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x - 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})) + C$

Passaggio 16

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = x^{2} \sqrt{x - 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x - 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})) + C$