Calcolo Esempi

$y = x^{3}$ , $y = x$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{0} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{3 \cdot 2} - {(x)}^{2}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$V = x^{6} - {(x)}^{2}$

$V = x^{6} - x^{2}$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{- 1}^{0} x^{6} d x + \int_{- 1}^{0} - x^{2} d x)$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$V = π (\frac{1}{7} x^{7}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x^{2} d x)$

Passaggio 5

$\frac{1}{7}$ e $x^{7}$ .

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - x^{2} d x)$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} x^{2} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{0}))$

Passaggio 8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{7}}{7}]_{- 1}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}))$

Passaggio 8.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Calcola $\frac{x^{7}}{7}$ per $0$ e per $- 1$ .

$V = π ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{0}))$

Passaggio 8.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $0$ e per $- 1$ .

$V = π (\frac{0^{7}}{7} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (\frac{0}{7} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.1

Scomponi $7$ da $0$ .

$V = π (\frac{7 (0)}{7} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.2.2.1

Scomponi $7$ da $7$ .

$V = π (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (0 - \frac{{(- 1)}^{7}}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $7$ .

$V = π (0 - \frac{- 1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (0 + \frac{1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = π (0 + 1 (\frac{1}{7}) - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.6

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $1$ .

$V = π (0 + \frac{1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.7

Somma $0$ e $\frac{1}{7}$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{0^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.9

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.9.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.9.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{1}{7} - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.9.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (0 - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Passaggio 8.2.3.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (0 - \frac{- 1}{3}))$

Passaggio 8.2.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (\frac{1}{7} - (0 + \frac{1}{3}))$

Passaggio 8.2.3.12

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (0 + 1 (\frac{1}{3})))$

Passaggio 8.2.3.13

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$V = π (\frac{1}{7} - (0 + \frac{1}{3}))$

Passaggio 8.2.3.14

Somma $0$ e $\frac{1}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{7} - \frac{1}{3})$

Passaggio 8.2.3.15

Per scrivere $\frac{1}{7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Passaggio 8.2.3.16

Per scrivere $- \frac{1}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$V = π (\frac{1}{7} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{7})$

Passaggio 8.2.3.17

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $21$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.17.1

Moltiplica $\frac{1}{7}$ per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{3}{7 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{7})$

Passaggio 8.2.3.17.2

Moltiplica $7$ per $3$ .

$V = π (\frac{3}{21} - \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{7})$

Passaggio 8.2.3.17.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{7}{7}$ .

$V = π (\frac{3}{21} - \frac{7}{3 \cdot 7})$

Passaggio 8.2.3.17.4

Moltiplica $3$ per $7$ .

$V = π (\frac{3}{21} - \frac{7}{21})$

Passaggio 8.2.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{3 - 7}{21})$

Passaggio 8.2.3.19

Sottrai $7$ da $3$ .

$V = π (\frac{- 4}{21})$

Passaggio 8.2.3.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (- \frac{4}{21})$

Passaggio 8.2.3.21

$π$ e $\frac{4}{21}$ .

$V = - \frac{π \cdot 4}{21}$

Passaggio 8.2.3.22

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$V = - \frac{4 π}{21}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = - \frac{4 π}{21}$

Forma decimale:

$V = - 0.59839860 \dots$

Passaggio 10