Calcolo Esempi

$y = 6 x + 7$ , $y = x^{2}$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1}^{7} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = 6 x + 7$ e $g (x) = x^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(6 x + 7)}^{2}$ come $(6 x + 7) (6 x + 7)$ .

$V = (6 x + 7) (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.2

Espandi $(6 x + 7) (6 x + 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V = 6 x (6 x + 7) + 7 (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$V = 6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x + 7) - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$V = 6 x (6 x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$V = 6 \cdot (6 x \cdot x) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$V = 6 \cdot (6 (x \cdot x)) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$V = 6 \cdot (6 x^{2}) + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $6$ per $6$ .

$V = 36 x^{2} + 6 x \cdot 7 + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $7$ per $6$ .

$V = 36 x^{2} + 42 x + 7 (6 x) + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $6$ per $7$ .

$V = 36 x^{2} + 42 x + 42 x + 7 \cdot 7 - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $7$ per $7$ .

$V = 36 x^{2} + 42 x + 42 x + 49 - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.3.2

Somma $42 x$ e $42 x$ .

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - {(x^{2})}^{2}$

Passaggio 2.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - x^{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$V = 36 x^{2} + 84 x + 49 - x^{4}$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{- 1}^{7} 36 x^{2} d x + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Passaggio 4

Poiché $36$ è costante rispetto a $x$ , sposta $36$ fuori dall'integrale.

$V = π (36 \int_{- 1}^{7} x^{2} d x + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (36 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Passaggio 6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 84 x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Passaggio 7

Poiché $84$ è costante rispetto a $x$ , sposta $84$ fuori dall'integrale.

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 \int_{- 1}^{7} x d x + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + \int_{- 1}^{7} 49 d x + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} + \int_{- 1}^{7} - x^{4} d x)$

Passaggio 11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - \int_{- 1}^{7} x^{4} d x)$

Passaggio 12

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{7}))$

Passaggio 13

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{7}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Passaggio 13.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $7$ e per $- 1$ .

$V = π (36 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{7}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Passaggio 13.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $7$ e per $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 x]_{- 1}^{7} - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Passaggio 13.2.3

Calcola $49 x$ per $7$ e per $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{7}))$

Passaggio 13.2.4

Calcola $\frac{x^{5}}{5}$ per $7$ e per $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.1

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} - \frac{- 1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (36 (\frac{343}{3} + \frac{1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.5

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$V = π (36 (\frac{343}{3} + \frac{1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (36 (\frac{343 + 1}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.7

Somma $343$ e $1$ .

$V = π (36 (\frac{344}{3}) + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.8

$36$ e $\frac{344}{3}$ .

$V = π (\frac{36 \cdot 344}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.9

Moltiplica $36$ per $344$ .

$V = π (\frac{12384}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.10

Elimina il fattore comune di $12384$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.10.1

Scomponi $3$ da $12384$ .

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3 (1)} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{3 \cdot 4128}{3 \cdot 1} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{4128}{1} + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.10.2.4

Dividi $4128$ per $1$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.11

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{49}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{49}{2} - \frac{1}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (4128 + 84 (\frac{49 - 1}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.14

Sottrai $1$ da $49$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{48}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.15

Elimina il fattore comune di $48$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.15.1

Scomponi $2$ da $48$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.15.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2 (1)}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (4128 + 84 (\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 1}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (4128 + 84 (\frac{24}{1}) + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.15.2.4

Dividi $24$ per $1$ .

$V = π (4128 + 84 \cdot 24 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.16

Moltiplica $84$ per $24$ .

$V = π (4128 + 2016 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.17

Somma $4128$ e $2016$ .

$V = π (6144 + 49 \cdot 7 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.18

Moltiplica $49$ per $7$ .

$V = π (6144 + 343 - 49 \cdot - 1 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.19

Moltiplica $- 49$ per $- 1$ .

$V = π (6144 + 343 + 49 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.20

Somma $343$ e $49$ .

$V = π (6144 + 392 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.21

Somma $6144$ e $392$ .

$V = π (6536 - (\frac{7^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.22

Eleva $7$ alla potenza di $5$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5}))$

Passaggio 13.2.5.23

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} - \frac{- 1}{5}))$

Passaggio 13.2.5.24

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + \frac{1}{5}))$

Passaggio 13.2.5.25

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + 1 (\frac{1}{5})))$

Passaggio 13.2.5.26

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$V = π (6536 - (\frac{16807}{5} + \frac{1}{5}))$

Passaggio 13.2.5.27

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (6536 - \frac{16807 + 1}{5})$

Passaggio 13.2.5.28

Somma $16807$ e $1$ .

$V = π (6536 - \frac{16808}{5})$

Passaggio 13.2.5.29

Per scrivere $6536$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$V = π (6536 \cdot \frac{5}{5} - \frac{16808}{5})$

Passaggio 13.2.5.30

$6536$ e $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{6536 \cdot 5}{5} - \frac{16808}{5})$

Passaggio 13.2.5.31

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{6536 \cdot 5 - 16808}{5})$

Passaggio 13.2.5.32

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.5.32.1

Moltiplica $6536$ per $5$ .

$V = π (\frac{32680 - 16808}{5})$

Passaggio 13.2.5.32.2

Sottrai $16808$ da $32680$ .

$V = π (\frac{15872}{5})$

Passaggio 13.2.5.33

$π$ e $\frac{15872}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 15872}{5}$

Passaggio 13.2.5.34

Sposta $15872$ alla sinistra di $π$ .

$V = \frac{15872 π}{5}$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{15872 π}{5}$

Forma decimale:

$V = 9972.67171955 \dots$

Passaggio 15