Calcolo Esempi

$y = 4 - \frac{3}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 1$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = - \frac{3 x}{2} + 4$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(- \frac{3 x}{2} + 4)}^{2}$ come $(- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$ .

$V = (- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Passaggio 2.2

Espandi $(- \frac{3 x}{2} + 4) (- \frac{3 x}{2} + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2} + 4) + 4 (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2} + 4)$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$V = - \frac{3 x}{2} \cdot (- \frac{3 x}{2}) - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $- \frac{3 x}{2} (- \frac{3 x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = 1 (\frac{3 x}{2}) \cdot \frac{3 x}{2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.2

Moltiplica $\frac{3 x}{2}$ per $1$ .

$V = \frac{3 x}{2} \cdot \frac{3 x}{2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.3

Moltiplica $\frac{3 x}{2}$ per $\frac{3 x}{2}$ .

$V = \frac{3 x (3 x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$V = \frac{9 x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$V = \frac{9 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$V = \frac{9 (x \cdot x)}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V = \frac{9 x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.8

Somma $1$ e $1$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.9

Moltiplica $2$ per $2$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 x}{2}$ nel numeratore.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot (2 (2)) + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 3 x \cdot 2 + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 4 (- \frac{3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3 x}{2}$ nel numeratore.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 4 (\frac{- 3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 (2) (\frac{- 3 x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 \cdot (2 (\frac{- 3 x}{2})) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x + 2 (- 3 x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x - 6 x + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $4$ per $4$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 6 x - 6 x + 16$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $6 x$ da $- 6 x$ .

$V = \frac{9 x^{2}}{4} - 12 x + 16$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{0}^{1} \frac{9 x^{2}}{4} d x + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{9}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{9}{4}$ fuori dall'integrale.

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{9}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Passaggio 6.2

$\frac{9}{4}$ e $\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} + \int_{0}^{1} - 12 x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 12$ fuori dall'integrale.

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 d x)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$V = π (\frac{9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 16 x]_{0}^{1})$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 16 x]_{0}^{1})$

Passaggio 11.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 x]_{0}^{1})$

Passaggio 11.3

Calcola $16 x$ per $1$ e per $0$ .

$V = π (\frac{9 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.3.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} - 0)}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3} + 0)}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.5

Somma $\frac{1}{3}$ e $0$ .

$V = π (\frac{9 (\frac{1}{3})}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.6

$9$ e $\frac{1}{3}$ .

$V = π (\frac{\frac{9}{3}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.7

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.7.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{\frac{3}{1}}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.7.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.10

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.10.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.10.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} - 0) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.11

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2} + 0) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.12

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 12 (\frac{1}{2}) + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.13

$- 12$ e $\frac{1}{2}$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 12}{2} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.14

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.14.1

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.14.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 6}{1} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.14.2.4

Dividi $- 6$ per $1$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 6 + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.15

Per scrivere $- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$V = π (\frac{3}{4} - 6 \cdot \frac{4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.16

$- 6$ e $\frac{4}{4}$ .

$V = π (\frac{3}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{3 - 6 \cdot 4}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.18

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.18.1

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$V = π (\frac{3 - 24}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.18.2

Sottrai $24$ da $3$ .

$V = π (\frac{- 21}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.19

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 \cdot 1 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.20

Moltiplica $16$ per $1$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 - 16 \cdot 0)$

Passaggio 11.4.21

Moltiplica $- 16$ per $0$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 + 0)$

Passaggio 11.4.22

Somma $16$ e $0$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16)$

Passaggio 11.4.23

Per scrivere $16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4})$

Passaggio 11.4.24

$16$ e $\frac{4}{4}$ .

$V = π (- \frac{21}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4})$

Passaggio 11.4.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{- 21 + 16 \cdot 4}{4})$

Passaggio 11.4.26

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.26.1

Moltiplica $16$ per $4$ .

$V = π (\frac{- 21 + 64}{4})$

Passaggio 11.4.26.2

Somma $- 21$ e $64$ .

$V = π (\frac{43}{4})$

Passaggio 11.4.27

$π$ e $\frac{43}{4}$ .

$V = \frac{π \cdot 43}{4}$

Passaggio 11.4.28

Sposta $43$ alla sinistra di $π$ .

$V = \frac{43 π}{4}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{43 π}{4}$

Forma decimale:

$V = 33.77212102 \dots$

Passaggio 13