Calcolo Esempi

$y = x + 1$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 7$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = x + 1$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

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Passaggio 2.1

Riscrivi ${(x + 1)}^{2}$ come $(x + 1) (x + 1)$ .

$V = (x + 1) (x + 1)$

Passaggio 2.2

Espandi $(x + 1) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$V = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$V = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$V = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$V = x^{2} + x + x + 1$

Passaggio 2.3.2

Somma $x$ e $x$ .

$V = x^{2} + 2 x + 1$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{0}^{7} x^{2} d x + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Passaggio 4

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Passaggio 5

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + \int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} d x)$

Passaggio 7

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Passaggio 8

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} d x)$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + x]_{0}^{7})$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

$\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{7}$ e $x]_{0}^{7}$ .

$V = π (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Passaggio 10.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $7$ e per $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{x^{3}}{3} + x]_{0}^{7})$

Passaggio 10.2.2

Calcola $\frac{x^{3}}{3} + x$ per $7$ e per $0$ .

$V = π (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.3

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.3.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.3.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} - 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2} + 0) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.5

Somma $\frac{49}{2}$ e $0$ .

$V = π (2 (\frac{49}{2}) + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.6

$2$ e $\frac{49}{2}$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.7

Moltiplica $2$ per $49$ .

$V = π (\frac{98}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.8

Elimina il fattore comune di $98$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.8.1

Scomponi $2$ da $98$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.8.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{49}{1} + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.8.2.4

Dividi $49$ per $1$ .

$V = π (49 + \frac{7^{3}}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.9

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.10

Per scrivere $7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.11

$7$ e $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 + \frac{343}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (49 + \frac{343 + 7 \cdot 3}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.13.1

Moltiplica $7$ per $3$ .

$V = π (49 + \frac{343 + 21}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.13.2

Somma $343$ e $21$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0^{3}}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.14

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.15

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.15.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 (0)}{3} + 0))$

Passaggio 10.2.3.15.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.15.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Passaggio 10.2.3.15.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} + 0))$

Passaggio 10.2.3.15.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (\frac{0}{1} + 0))$

Passaggio 10.2.3.15.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - (0 + 0))$

Passaggio 10.2.3.16

Somma $0$ e $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} - 0)$

Passaggio 10.2.3.17

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3} + 0)$

Passaggio 10.2.3.18

Somma $\frac{364}{3}$ e $0$ .

$V = π (49 + \frac{364}{3})$

Passaggio 10.2.3.19

Per scrivere $49$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$V = π (49 \cdot \frac{3}{3} + \frac{364}{3})$

Passaggio 10.2.3.20

$49$ e $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{49 \cdot 3}{3} + \frac{364}{3})$

Passaggio 10.2.3.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{49 \cdot 3 + 364}{3})$

Passaggio 10.2.3.22

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.22.1

Moltiplica $49$ per $3$ .

$V = π (\frac{147 + 364}{3})$

Passaggio 10.2.3.22.2

Somma $147$ e $364$ .

$V = π (\frac{511}{3})$

Passaggio 10.2.3.23

$π$ e $\frac{511}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 511}{3}$

Passaggio 10.2.3.24

Sposta $511$ alla sinistra di $π$ .

$V = \frac{511 π}{3}$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{511 π}{3}$

Forma decimale:

$V = 535.11794866 \dots$

Passaggio 12