Calcolo Esempi

$y = 4 - \frac{1}{2} x$ , $y = 0$ , $x = 1$ , $x = 2$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{1}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = - \frac{x}{2} + 4$

Passaggio 2

Semplifica l'integrando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(- \frac{x}{2} + 4)}^{2}$ come $(- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$ .

$V = (- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$

Passaggio 2.2

Espandi $(- \frac{x}{2} + 4) (- \frac{x}{2} + 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2} + 4) + 4 (- \frac{x}{2} + 4)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2} + 4)$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$V = - \frac{x}{2} \cdot (- \frac{x}{2}) - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $- \frac{x}{2} (- \frac{x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = 1 (\frac{x}{2}) \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.2

Moltiplica $\frac{x}{2}$ per $1$ .

$V = \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.3

Moltiplica $\frac{x}{2}$ per $\frac{x}{2}$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$V = \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$V = \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.7

Somma $1$ e $1$ .

$V = \frac{x^{2}}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.1.8

Moltiplica $2$ per $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{2}$ nel numeratore.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot 4 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot (2 (2)) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$V = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- x}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$V = \frac{x^{2}}{4} - x \cdot 2 + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4 (- \frac{x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{2}$ nel numeratore.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 4 (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.4.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 (2) (\frac{- x}{2}) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 \cdot (2 (\frac{- x}{2})) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x + 2 (- x) + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2 x + 4 \cdot 4$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $4$ per $4$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2 x + 16$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$V = \frac{x^{2}}{4} - 4 x + 16$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{4} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Passaggio 5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{4}$ e $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Passaggio 7

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 16 d x)$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$V = π (\frac{\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

Passaggio 11

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 11.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $2$ e per $1$ .

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

Passaggio 11.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $2$ e per $1$ .

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 x]_{1}^{2})$

Passaggio 11.3

Calcola $16 x$ per $2$ e per $1$ .

$V = π (\frac{(\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$V = π (\frac{\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (\frac{\frac{8}{3} - \frac{1}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{\frac{8 - 1}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.4

Sottrai $1$ da $8$ .

$V = π (\frac{\frac{7}{3}}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.5

Riscrivi $\frac{\frac{7}{3}}{4}$ come un prodotto.

$V = π (\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.6

Moltiplica $\frac{7}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$V = π (\frac{7}{3 \cdot 4} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.7

Moltiplica $3$ per $4$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.8

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.9

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.9.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.9.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.11

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.12

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{7}{12} - 4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.14.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 \frac{4 - 1}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.14.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 4 (\frac{3}{2}) + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.15

$- 4$ e $\frac{3}{2}$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 4 \cdot 3}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.16

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 12}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.17

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.17.1

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.17.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.17.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.17.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.17.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 6}{1} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.17.2.4

Dividi $- 6$ per $1$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 6 + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.18

Per scrivere $- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{7}{12} - 6 \cdot \frac{12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.19

$- 6$ e $\frac{12}{12}$ .

$V = π (\frac{7}{12} + \frac{- 6 \cdot 12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{7 - 6 \cdot 12}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.21

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.21.1

Moltiplica $- 6$ per $12$ .

$V = π (\frac{7 - 72}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.21.2

Sottrai $72$ da $7$ .

$V = π (\frac{- 65}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.22

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = π (- \frac{65}{12} + 16 \cdot 2 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.23

Moltiplica $16$ per $2$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 32 - 16 \cdot 1)$

Passaggio 11.4.24

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 32 - 16)$

Passaggio 11.4.25

Sottrai $16$ da $32$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 16)$

Passaggio 11.4.26

Per scrivere $16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + 16 \cdot \frac{12}{12})$

Passaggio 11.4.27

$16$ e $\frac{12}{12}$ .

$V = π (- \frac{65}{12} + \frac{16 \cdot 12}{12})$

Passaggio 11.4.28

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$V = π (\frac{- 65 + 16 \cdot 12}{12})$

Passaggio 11.4.29

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.29.1

Moltiplica $16$ per $12$ .

$V = π (\frac{- 65 + 192}{12})$

Passaggio 11.4.29.2

Somma $- 65$ e $192$ .

$V = π (\frac{127}{12})$

Passaggio 11.4.30

$π$ e $\frac{127}{12}$ .

$V = \frac{π \cdot 127}{12}$

Passaggio 11.4.31

Sposta $127$ alla sinistra di $π$ .

$V = \frac{127 π}{12}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = \frac{127 π}{12}$

Forma decimale:

$V = 33.24852225 \dots$

Passaggio 13