Calcolo Esempi

$f (x) = x^{7} \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{7} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

$x^{7}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{7}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{7}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{7}$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 1.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 1.1.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 1.1.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x^{6}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 1.1.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{6}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 1.1.3.2.2.5

Dividi $x^{6}$ per $1$ .

$x^{6} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$x^{6} + \ln (x) (7 x^{6})$

Passaggio 1.1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = x^{6} + 7 x^{6} \ln (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{6} + 7 x^{6} \ln (x)$ .

$x^{6} + 7 x^{6} \ln (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{6} + 7 x^{6} \ln (x) = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $x^{6}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$7 x^{6} \ln (x) = - x^{6}$

Passaggio 2.3

Dividi per $7 x^{6}$ ciascun termine in $7 x^{6} \ln (x) = - x^{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $7 x^{6}$ ciascun termine in $7 x^{6} \ln (x) = - x^{6}$ .

$\frac{7 x^{6} \ln (x)}{7 x^{6}} = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 x^{6} \ln (x)}{7 x^{6}} = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{6} \ln (x)}{x^{6}} = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{6} \ln (x)}{x^{6}} = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) = \frac{- x^{6}}{7 x^{6}}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) = \frac{- 1}{7}$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (x) = - \frac{1}{7}$

Passaggio 2.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{7}}$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\ln (x) = - \frac{1}{7}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{7}} = x$

Passaggio 2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- \frac{1}{7}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{7}}$

Passaggio 2.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}$

Passaggio 3

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}$

Passaggio 4

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 4.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$

Passaggio 6

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.43343895$ nell'espressione.

$f' (0.43343895) = {(0.43343895)}^{6} + 7 {(0.43343895)}^{6} \ln (0.43343895)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.43343895$ alla potenza di $6$ .

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + 7 {(0.43343895)}^{6} \ln (0.43343895)$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $0.43343895$ alla potenza di $6$ .

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + 7 \cdot (0.00663082 \ln (0.43343895))$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $7$ per $0.00663082$ .

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + 0.04641578 \ln (0.43343895)$

Passaggio 7.2.1.4

Semplifica $0.04641578 \ln (0.43343895)$ spostando $0.04641578$ all'interno del logaritmo.

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + \ln ({0.43343895}^{0.04641578})$

Passaggio 7.2.1.5

Eleva $0.43343895$ alla potenza di $0.04641578$ .

$f' (0.43343895) = 0.00663082 + \ln (0.96193943)$

Passaggio 7.2.2

Somma $0.00663082$ e $\ln (0.96193943)$ .

$f' (0.43343895) = - 0.03217296$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 0.03217296$ .

$- 0.03217296$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 0.43343895$ la derivata è $- 0.03217296$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$ .

Decrescente su $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Escludi gli intervalli che non si trovano nel dominio.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.8668779$ nell'espressione.

$f' (1.8668779) = {(1.8668779)}^{6} + 7 {(1.8668779)}^{6} \ln (1.8668779)$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Eleva $1.8668779$ alla potenza di $6$ .

$f' (1.8668779) = 42.33460261 + 7 {(1.8668779)}^{6} \ln (1.8668779)$

Passaggio 9.2.1.2

Eleva $1.8668779$ alla potenza di $6$ .

$f' (1.8668779) = 42.33460261 + 7 \cdot (42.33460261 \ln (1.8668779))$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $7$ per $42.33460261$ .

$f' (1.8668779) = 42.33460261 + 296.34221828 \ln (1.8668779)$

Passaggio 9.2.1.4

Semplifica $296.34221828 \ln (1.8668779)$ spostando $296.34221828$ all'interno del logaritmo.

$f' (1.8668779) = 42.33460261 + \ln ({1.8668779}^{296.34221828})$

Passaggio 9.2.2

Somma $42.33460261$ e $\ln ({1.8668779}^{296.34221828})$ .

$f' (1.8668779) = 227.33140751$

Passaggio 9.2.3

La risposta finale è $227.33140751$ .

$227.33140751$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 1.8668779$ la derivata è $227.33140751$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 10

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(\frac{1}{e^{\frac{1}{7}}}, \infty)$

Decrescente su: $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{7}}})$

Passaggio 11