Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\ln (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 x}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1.3

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\ln (x^{2} + 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Passaggio 3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Passaggio 3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Passaggio 3.5.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Passaggio 3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}$

Passaggio 3.8

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)}$

Passaggio 3.9

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)}$

Passaggio 3.10

$2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{2}{x^{2} + 1} x}$

Passaggio 3.11

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4}{\frac{2 x}{x^{2} + 1}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} 4 \frac{x^{2} + 1}{2 x}$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

$4$ e $\frac{x^{2} + 1}{2 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x^{2} + 1)}{2 x}$

Passaggio 5.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $2$ da $4 (x^{2} + 1)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 x}$

Passaggio 5.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 (x)}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 (x^{2} + 1))}{2 x}$

Passaggio 5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} + 1)}{x}$

Passaggio 6

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 6.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 (x^{2} + 1)}{lim_{x \to \infty} x}$

Passaggio 6.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 6.1.2.1

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 6.1.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} x}$

Passaggio 6.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 2}{lim_{x \to \infty} x}$

Passaggio 6.1.2.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Passaggio 6.1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 6.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 6.2

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (x^{2} + 1)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 (x^{2} + 1)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.6

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 6.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{1}$

Passaggio 6.4

Dividi $4 x$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4 x$

Passaggio 7

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\infty$