Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} x^{3} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{3} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})$ come $\frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}})}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{3}}$ tende a $0$ .

$\frac{\sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} x^{- 3}}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 2.1.3.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{3}}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sin (\frac{1}{2 x^{3}})}{x^{- 3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2 x^{3}})]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2 x^{3}})]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1}{2 x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1}{2 x^{3}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2 x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}])}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.4

$\frac{1}{2}$ e $\cos (\frac{1}{2 x^{3}})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.5

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.6.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} (- 3 x^{- 4})}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.8

$- 3$ e $\frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2} x^{- 4}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.9

$\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$ e $x^{- 4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{- 4}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.10

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 2.3.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- 3 x^{- 4}}$

Passaggio 2.3.13

Semplifica.

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Passaggio 2.3.13.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

Passaggio 2.3.13.2

$- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

Passaggio 2.3.13.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} - \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} (- \frac{x^{4}}{3})$

Passaggio 2.5

Combina i fattori.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} \frac{x^{4}}{3}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $\frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{3}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $\frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2 x^{4}}$ per $\frac{x^{4}}{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4} \cdot 3}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{6 x^{4}}$

Passaggio 2.6

Riduci.

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Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

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Passaggio 2.6.1.1

Scomponi $3$ da $3 \cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{6 x^{4}}$

Passaggio 2.6.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.6.1.2.1

Scomponi $3$ da $6 x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{3 (2 x^{4})}$

Passaggio 2.6.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4})}{3 (2 x^{4})}$

Passaggio 2.6.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

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Passaggio 2.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}}) x^{4}}{2 x^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\cos (\frac{1}{2 x^{3}})}{2}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \cos (\frac{1}{2 x^{3}})$

Passaggio 3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{2} \cos (lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{3}})$

Passaggio 3.3

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{3}}$ tende a $0$ .

$\frac{1}{2} \cos (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cos (0)$

Passaggio 5.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$