Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (π x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} \sin (π x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (π x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (π x)}$

Passaggio 1.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (π x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} π x)}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (π lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\sin (π \cdot 0)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 1.3.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sin (π x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}$

Passaggio 3.4

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (π x) (π \cdot 1)}$

Passaggio 3.6

Moltiplica $π$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (π x) π}$

Passaggio 3.7

Riordina i fattori di $\cos (π x) π$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{π \cos (π x)}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{1}{π}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{π} lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\cos (π x)}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (π x)}$

Passaggio 6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (π x)}$

Passaggio 7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} π x)}$

Passaggio 8

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{\cos (π lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 9.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (π lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{\cos (0)}{\cos (π \cdot 0)}$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

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Passaggio 10.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π \cdot 0)}$

Passaggio 10.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica $π$ per $0$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Passaggio 10.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 10.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 10.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{1}$

Passaggio 10.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} \cdot 1$

Passaggio 10.4

Moltiplica $\frac{1}{π}$ per $1$ .

$\frac{1}{π}$