Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln (x) - \sin (π x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x) - \sin (π x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \ln (x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

Passaggio 1.3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - \sin (lim_{x \to 1} π x)}$

Passaggio 1.3.4

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 1} x) - \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 1.3.5

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{\ln (1) - \sin (π lim_{x \to 1} x)}$

Passaggio 1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{\ln (1) - \sin (π \cdot 1)}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.6.1.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{0 - \sin (π \cdot 1)}$

Passaggio 1.3.6.1.2

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{0}{0 - \sin (π)}$

Passaggio 1.3.6.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Passaggio 1.3.6.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Passaggio 1.3.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Passaggio 1.3.6.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.6.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\ln (x) - \sin (π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x) - \sin (π x)]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $\ln (x) - \sin (π x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]}$

Passaggio 3.7

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \sin (π x)]}$

Passaggio 3.8

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (π x)]$ .

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Passaggio 3.8.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (π x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

Passaggio 3.8.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

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Passaggio 3.8.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])}$

Passaggio 3.8.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])}$

Passaggio 3.8.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}$

Passaggio 3.8.3

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x]))}$

Passaggio 3.8.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) (π \cdot 1))}$

Passaggio 3.8.5

Moltiplica $π$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - (\cos (π x) π)}$

Passaggio 3.8.6

Rimuovi le parentesi.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x} - \cos (π x) π}$

Passaggio 3.9

Riordina i termini.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{- π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Passaggio 4

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} - π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} - π \cos (π x) + \frac{1}{x}}$

Passaggio 6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to 1} π \cos (π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Passaggio 7

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- π lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Passaggio 8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{- π \cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Passaggio 9

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \frac{1}{x}}$

Passaggio 10

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + \frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}}$

Passaggio 11

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{- π \cos (π lim_{x \to 1} x) + \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Passaggio 12

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 12.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{lim_{x \to 1} x}}$

Passaggio 12.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{1}}$

Passaggio 13

Semplifica la risposta.

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Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + \frac{1}{1}}$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- π \cos (π \cdot 1) + 1}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 13.2.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{1}{- π \cos (π) + 1}$

Passaggio 13.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{1}{- π (- \cos (0)) + 1}$

Passaggio 13.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{- π (- 1 \cdot 1) + 1}$

Passaggio 13.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{- π \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 13.2.5

Moltiplica $- π \cdot - 1$ .

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Passaggio 13.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{1 π + 1}$

Passaggio 13.2.5.2

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{1}{π + 1}$