Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} 4 \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 1} \sin (π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{4 \sin (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Passaggio 1.2.1.3

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 \sin (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{4 \sin (π \cdot 1)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{4 \sin (π)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Passaggio 1.2.3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{4 \sin (0)}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Passaggio 1.2.3.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Passaggio 1.2.3.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + x}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \cos (π x) + lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 1.3.3

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\cos (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 1.3.4

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + lim_{x \to 1} x}$

Passaggio 1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{\cos (π \cdot 1) + 1}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{0}{\cos (π) + 1}$

Passaggio 1.3.5.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{0}{- \cos (0) + 1}$

Passaggio 1.3.5.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{0}{- 1 \cdot 1 + 1}$

Passaggio 1.3.5.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Passaggio 1.3.5.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.5.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \sin (π x)}{\cos (π x) + x} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Passaggio 3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin (π x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \frac{d}{d x} [\sin (π x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = π x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 (\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Passaggio 3.4

Rimuovi le parentesi.

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Passaggio 3.5

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) (π \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $π$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 \cos (π x) π}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Passaggio 3.8

Riordina i fattori di $4 \cos (π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x) + x]}$

Passaggio 3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (π x) + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.10

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (π x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = π x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.10.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.10.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.10.2

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π x$ rispetto a $x$ è $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.10.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) (π \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.10.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- \sin (π x) π + 1}$

Passaggio 3.12

Riordina i termini.

$lim_{x \to 1} \frac{4 π \cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Passaggio 4

Sposta il termine $4 π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 π lim_{x \to 1} \frac{\cos (π x)}{- π \sin (π x) + 1}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$4 π \frac{lim_{x \to 1} \cos (π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Passaggio 6

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$4 π \frac{\cos (lim_{x \to 1} π x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Passaggio 7

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} - π \sin (π x) + 1}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- lim_{x \to 1} π \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 9

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π lim_{x \to 1} \sin (π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 10

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (lim_{x \to 1} π x) + lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 11

Sposta il termine $π$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} 1}$

Passaggio 12

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$4 π \frac{\cos (π lim_{x \to 1} x)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Passaggio 13

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π lim_{x \to 1} x) + 1}$

Passaggio 13.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$4 π \frac{\cos (π \cdot 1)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Passaggio 14

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$4 π \frac{\cos (π)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Passaggio 14.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$4 π \frac{- \cos (0)}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Passaggio 14.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$4 π \frac{- 1 \cdot 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π \cdot 1) + 1}$

Passaggio 14.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Moltiplica $π$ per $1$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (π) + 1}$

Passaggio 14.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$4 π \frac{- 1}{- π \sin (0) + 1}$

Passaggio 14.2.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$4 π \frac{- 1}{- π \cdot 0 + 1}$

Passaggio 14.2.4

Moltiplica $- π \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$4 π \frac{- 1}{0 π + 1}$

Passaggio 14.2.4.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$4 π \frac{- 1}{0 + 1}$

Passaggio 14.2.5

Somma $0$ e $1$ .

$4 π \frac{- 1}{1}$

Passaggio 14.3

Dividi $- 1$ per $1$ .

$4 π \cdot - 1$

Passaggio 14.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 π$