Calcolo Esempi

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

Passaggio 1.2

Il limite a meno infinito di un polinomio con grado dispari il cui coefficiente direttivo è meno infinito.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}$

Passaggio 1.3

Con $x$ che tende a $- \infty$ per i radicali, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Passaggio 3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [\sqrt{16 x^{2} - 9 x}]}$

Passaggio 3.5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ come ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d x} [{(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 16 x^{2} - 9 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $16 x^{2} - 9 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Passaggio 3.6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $16 x^{2} - 9 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Passaggio 3.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Passaggio 3.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Passaggio 3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Passaggio 3.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Passaggio 3.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Passaggio 3.11

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2} {(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Passaggio 3.12

$\frac{1}{2}$ e ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{{(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Passaggio 3.13

Sposta ${(16 x^{2} - 9 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} - 9 x]}$

Passaggio 3.14

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{2} - 9 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Passaggio 3.15

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{2}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Passaggio 3.16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Passaggio 3.17

Moltiplica $2$ per $16$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x + \frac{d}{d x} [- 9 x])}$

Passaggio 3.18

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.19

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9 \cdot 1)}$

Passaggio 3.20

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)}$

Passaggio 3.21

Semplifica.

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Passaggio 3.21.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}} (32 x - 9)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{(32 x - 9) \frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 3.21.2

Moltiplica $32 x - 9$ per $\frac{1}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3}{\frac{32 x - 9}{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 {(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}}{32 x - 9}$

Passaggio 5

Riscrivi ${(16 x^{2} - 9 x)}^{\frac{1}{2}}$ come $\sqrt{16 x^{2} - 9 x}$ .

$lim_{x \to - \infty} 3 \frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

Passaggio 6

Combina i fattori.

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Passaggio 6.1

$3$ e $\frac{2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 (2 \sqrt{16 x^{2} - 9 x})}{32 x - 9}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{6 \sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

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Passaggio 7.1

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{16 x^{2} - 9 x}}{32 x - 9}$

Passaggio 7.2

Scomponi $x$ da $16 x^{2} - 9 x$ .

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $x$ da $16 x^{2}$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x - 9 x}}{32 x - 9}$

Passaggio 7.2.2

Scomponi $x$ da $- 9 x$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 16 x + x \cdot - 9}}{32 x - 9}$

Passaggio 7.2.3

Scomponi $x$ da $x (16 x) + x \cdot - 9$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x (16 x - 9)}}{32 x - 9}$

Passaggio 8

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{\frac{32 x}{x} + \frac{- 9}{x}}$

Passaggio 9

Semplifica ciascun termine.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x^{2}}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 10

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x (16 x - 9)}{x \cdot x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 10.3

Riscrivi l'espressione.

$6 lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 11

Calcola il limite.

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Passaggio 11.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$6 \frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 11.2

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 \frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 11.3

Sposta il limite sotto il segno radicale.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 x - 9}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 12

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 13

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{16 x}{x} + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 13.1.1.2

Dividi $16$ per $1$ .

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 + \frac{- 9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 13.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$6 \frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{16 - \frac{9}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 13.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 13.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 13.5

Calcola il limite di $16$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 13.6

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 14

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 15

Calcola il limite.

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Passaggio 15.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - \frac{9}{x}}$

Passaggio 15.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

Passaggio 15.3

Calcola il limite di $32$ che è costante, mentre $x$ tende a $- \infty$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - lim_{x \to - \infty} \frac{9}{x}}$

Passaggio 15.4

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 16

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{\frac{16 - 9 \cdot 0}{1}}}{32 - 9 \cdot 0}$

Passaggio 17

Semplifica la risposta.

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Passaggio 17.1

Dividi $16 - 9 \cdot 0$ per $1$ .

$6 \frac{- \sqrt{16 - 9 \cdot 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

Passaggio 17.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 17.2.1

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{16 + 0}}{32 - 9 \cdot 0}$

Passaggio 17.2.2

Somma $16$ e $0$ .

$6 \frac{- \sqrt{16}}{32 - 9 \cdot 0}$

Passaggio 17.2.3

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$6 \frac{- \sqrt{4^{2}}}{32 - 9 \cdot 0}$

Passaggio 17.2.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 - 9 \cdot 0}$

Passaggio 17.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32 + 0}$

Passaggio 17.3.2

Somma $32$ e $0$ .

$6 \frac{- 1 \cdot 4}{32}$

Passaggio 17.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$6 (\frac{- 4}{32})$

Passaggio 17.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.5.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 (3) \frac{- 4}{32}$

Passaggio 17.5.2

Scomponi $2$ da $32$ .

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

Passaggio 17.5.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 3 \frac{- 4}{2 \cdot 16}$

Passaggio 17.5.4

Riscrivi l'espressione.

$3 (\frac{- 4}{16})$

Passaggio 17.6

$3$ e $\frac{- 4}{16}$ .

$\frac{3 \cdot - 4}{16}$

Passaggio 17.7

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$\frac{- 12}{16}$

Passaggio 17.8

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.8.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$\frac{4 (- 3)}{16}$

Passaggio 17.8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.8.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

Passaggio 17.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 4}$

Passaggio 17.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3}{4}$

Passaggio 17.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{4}$