Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 7}{x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2} + 4 x - 7}{lim_{x \to \infty} x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Passaggio 1.2

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{3} + 3 x^{2} - 5}$

Passaggio 1.3

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x - 7}{x^{3} + 3 x^{2} - 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 x - 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 4 x - 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} + 4 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 7]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Passaggio 3.5

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Passaggio 3.6

Somma $4 x + 4$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} - 5]}$

Passaggio 3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 3 x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Passaggio 3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Passaggio 3.9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Passaggio 3.9.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Passaggio 3.10

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x + 0}$

Passaggio 3.11

Somma $3 x^{2} + 6 x$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x + 4}{3 x^{2} + 6 x}$

Passaggio 4

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x^{2}} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 5.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 4}{x \cdot x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $3$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{6 x}{x^{2}}}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x$ da $6 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x^{2}}}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{x \cdot 6}{x \cdot x}}$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{3 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 5.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 5.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 5.5

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 6

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 7

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x^{2}}$ tende a $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{6}{x}}$

Passaggio 9

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Passaggio 9.2

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{6}{x}}$

Passaggio 9.3

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 10

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 + 4 \cdot 0}{3 + 6 \cdot 0}$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Elimina il fattore comune di $4 \cdot 0 + 4 \cdot 0$ e $3 + 6 \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Riordina i termini.

$\frac{0 \cdot 4 + 0 \cdot 4}{3 + 6 \cdot 0}$

Passaggio 11.1.2

Scomponi $3$ da $0 \cdot 4$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4) + 0 \cdot 4}{3 + 6 \cdot 0}$

Passaggio 11.1.3

Scomponi $3$ da $0 \cdot 4$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4) + 3 (0 \cdot 4)}{3 + 6 \cdot 0}$

Passaggio 11.1.4

Scomponi $3$ da $3 (0 \cdot 4) + 3 (0 \cdot 4)$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 + 6 \cdot 0}$

Passaggio 11.1.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.5.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1) + 6 \cdot 0}$

Passaggio 11.1.5.2

Scomponi $3$ da $6 \cdot 0$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1) + 3 (2 \cdot 0)}$

Passaggio 11.1.5.3

Scomponi $3$ da $3 (1) + 3 (2 \cdot 0)$ .

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1 + 2 \cdot 0)}$

Passaggio 11.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (0 \cdot 4 + 0 \cdot 4)}{3 (1 + 2 \cdot 0)}$

Passaggio 11.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0 \cdot 4 + 0 \cdot 4}{1 + 2 \cdot 0}$

Passaggio 11.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Moltiplica $0$ per $4$ .

$\frac{0 + 0 \cdot 4}{1 + 2 \cdot 0}$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $0$ per $4$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 2 \cdot 0}$

Passaggio 11.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{1 + 2 \cdot 0}$

Passaggio 11.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Passaggio 11.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{0}{1}$

Passaggio 11.4

Dividi $0$ per $1$ .

$0$