Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Passaggio 1.2

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}$

Passaggio 1.3

Con un logaritmo che tende a infinito, il valore diventa $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{\infty}{\infty}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{\infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.7

Moltiplica $3$ per $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 3.8

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x} x$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$3 \cdot lim_{x \to \infty} e^{3 x} \cdot lim_{x \to \infty} x$

Passaggio 6

Poiché l'esponente $3 x$ tende a $\infty$ , la quantità $e^{3 x}$ tende a $\infty$ .

$3 \cdot \infty \cdot lim_{x \to \infty} x$

Passaggio 7

Calcola il limite.

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Passaggio 7.1

Il limite all'infinito di un polinomio il cui coefficiente direttivo è più infinito.

$3 \cdot \infty \cdot \infty$

Passaggio 7.2

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.2.1

Una costante diversa da zero moltiplicata per infinito è uguale a infinito.

$\infty \cdot \infty$

Passaggio 7.2.2

Infinito moltiplicato per infinito è uguale a infinito.

$\infty$