Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.2.1.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.2.1.4

Sposta il termine $a$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{\ln (1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{\ln (1 + a \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $a$ per $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.2.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.2.3.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 1.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{a}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.6

Poiché $a$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{a}{x}$ rispetto a $x$ è $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.7

$a$ e $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.8

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.10

$\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ e $x^{- 2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.11

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.12

Semplifica.

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Passaggio 3.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.12.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.12.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.12.2.2

$\frac{a}{x}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.12.2.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.2.3.1

Scomponi $x$ da $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.12.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.12.2.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.12.2.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.12.2.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.12.2.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.12.2.3.2.5

Dividi $a x$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.12.3

Scomponi $x$ da $x^{2} + a x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.12.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.12.3.2

Scomponi $x$ da $a x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + x a}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.12.3.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x a$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 3.13

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Passaggio 3.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- x^{- 2}}$

Passaggio 3.15

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to \infty} - \frac{a}{x (x + a)} (- x^{2})$

Passaggio 5

Combina i fattori.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{a}{x (x + a)}$ per $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

Passaggio 5.3

$\frac{a}{x (x + a)}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a x^{2}}{x (x + a)}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scomponi $x$ da $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

Passaggio 6.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

Passaggio 6.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to \infty} \frac{a x}{x + a}$

Passaggio 6.2

Sposta il termine $a$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + a}$

Passaggio 7

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Passaggio 8

Calcola il limite.

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Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Elimina il fattore comune.

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi l'espressione.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$

Passaggio 8.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$a \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

Passaggio 8.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

Passaggio 8.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

Passaggio 8.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$a \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

Passaggio 8.7

Sposta il termine $a$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$a \frac{1}{1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Passaggio 9

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$a \frac{1}{1 + a \cdot 0}$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

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Passaggio 10.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Moltiplica $a$ per $0$ .

$a \frac{1}{1 + 0}$

Passaggio 10.1.2

Somma $1$ e $0$ .

$a \frac{1}{1}$

Passaggio 10.2

Dividi $1$ per $1$ .

$a \cdot 1$

Passaggio 10.3

Moltiplica $a$ per $1$ .

$a$