Calcolo Esempi

$f (x) = 10 \sin (x) + 10 \sqrt{3} \cos (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 \sin (x) + 10 \sqrt{3} \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{3} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{3} \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{3} \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$10 \cos (x) + \frac{d}{d x} [10 \sqrt{3} \cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [10 \sqrt{3} \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $10 \sqrt{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 \sqrt{3} \cos (x)$ rispetto a $x$ è $10 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$10 \cos (x) + 10 \sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$10 \cos (x) + 10 \sqrt{3} (- \sin (x))$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$10 \cos (x) - 10 \sqrt{3} \sin (x)$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 10 \sqrt{3} \sin (x) + 10 \cos (x)$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 10 \sqrt{3} \sin (x) + 10 \cos (x)$ .

$- 10 \sqrt{3} \sin (x) + 10 \cos (x)$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 10 \sqrt{3} \sin (x) + 10 \cos (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 10 \sqrt{3} \sin (x) + 10 \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{- 10 \sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{10 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.3

Frazioni separate.

$\frac{- 10 \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{10 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3}}{1} \cdot \tan (x) + \frac{10 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.5

Dividi $- 10 \sqrt{3}$ per $1$ .

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + \frac{10 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune.

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + \frac{10 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.6.2

Dividi $10$ per $1$ .

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + 10 = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 2.7

Frazioni separate.

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + 10 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 2.8

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + 10 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 2.9

Dividi $0$ per $1$ .

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + 10 = 0 \sec (x)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) + 10 = 0$

Passaggio 2.11

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 10 \sqrt{3} \tan (x) = - 10$

Passaggio 2.12

Dividi per $- 10 \sqrt{3}$ ciascun termine in $- 10 \sqrt{3} \tan (x) = - 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Dividi per $- 10 \sqrt{3}$ ciascun termine in $- 10 \sqrt{3} \tan (x) = - 10$ .

$\frac{- 10 \sqrt{3} \tan (x)}{- 10 \sqrt{3}} = \frac{- 10}{- 10 \sqrt{3}}$

Passaggio 2.12.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Elimina il fattore comune di $- 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 10 \sqrt{3} \tan (x)}{- 10 \sqrt{3}} = \frac{- 10}{- 10 \sqrt{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 10}{- 10 \sqrt{3}}$

Passaggio 2.12.2.2

Elimina il fattore comune di $\sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{3} \tan (x)}{\sqrt{3}} = \frac{- 10}{- 10 \sqrt{3}}$

Passaggio 2.12.2.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 10}{- 10 \sqrt{3}}$

Passaggio 2.12.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.3.1

Elimina il fattore comune di $- 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\tan (x) = \frac{- 10}{- 10 \sqrt{3}}$

Passaggio 2.12.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.12.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 2.12.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.12.3.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 2.12.3.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 2.12.3.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.12.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.12.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.12.3.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.12.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.12.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.12.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 2.12.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2.13

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Passaggio 2.14

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Il valore esatto di $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 2.15

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{6}$

Passaggio 2.16

Semplifica $π + \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Passaggio 2.16.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Passaggio 2.16.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Passaggio 2.16.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Passaggio 2.16.3.2

Somma $6 π$ e $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 2.17

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 2.17.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 2.17.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 2.17.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.18

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $10 \sin (x) + 10 \sqrt{3} \cos (x)$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $\frac{π}{6}$ a $x$ .

$10 \sin (\frac{π}{6}) + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2}) + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$2 (5) \frac{1}{2} + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 5 \frac{1}{2} + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$5 + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$5 + 10 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $10 \sqrt{3}$ .

$5 + 2 (5 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.1.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$5 + 2 (5 \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.1.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$5 + 5 \sqrt{3} \sqrt{3}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$5 + 5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Passaggio 4.1.2.1.6

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$5 + 5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Passaggio 4.1.2.1.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 + 5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Passaggio 4.1.2.1.8

Somma $1$ e $1$ .

$5 + 5 {\sqrt{3}}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.9

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$5 + 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.9.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 + 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.1.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$5 + 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$5 + 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$5 + 5 \cdot 3^{1}$

Passaggio 4.1.2.1.9.5

Calcola l'esponente.

$5 + 5 \cdot 3$

Passaggio 4.1.2.1.10

Moltiplica $5$ per $3$ .

$5 + 15$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $5$ e $15$ .

$20$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{7 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{7 π}{6}$ a $x$ .

$10 \sin (\frac{7 π}{6}) + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel terzo quadrante.

$10 (- \sin (\frac{π}{6})) + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$10 (- \frac{1}{2}) + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$10 (\frac{- 1}{2}) + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

Scomponi $2$ da $10$ .

$2 (5) \frac{- 1}{2} + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 5 \frac{- 1}{2} + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$5 \cdot - 1 + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 + 10 \sqrt{3} \cos (\frac{7 π}{6})$

Passaggio 4.2.2.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel terzo quadrante.

$- 5 + 10 \sqrt{3} (- \cos (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.2.2.1.6

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 5 + 10 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 4.2.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ nel numeratore.

$- 5 + 10 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.2.1.7.2

Scomponi $2$ da $10 \sqrt{3}$ .

$- 5 + 2 (5 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.2.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$- 5 + 2 (5 \sqrt{3}) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.2.2.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$- 5 + 5 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

Passaggio 4.2.2.1.8

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 - 5 \sqrt{3} \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.2.1.9

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- 5 - 5 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Passaggio 4.2.2.1.10

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- 5 - 5 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Passaggio 4.2.2.1.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 5 - 5 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

Passaggio 4.2.2.1.12

Somma $1$ e $1$ .

$- 5 - 5 {\sqrt{3}}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.13

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 5 - 5 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 4.2.2.1.13.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 5 - 5 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2.1.13.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 5 - 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.13.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.13.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 5 - 5 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.13.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 5 - 5 \cdot 3^{1}$

Passaggio 4.2.2.1.13.5

Calcola l'esponente.

$- 5 - 5 \cdot 3$

Passaggio 4.2.2.1.14

Moltiplica $- 5$ per $3$ .

$- 5 - 15$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $15$ da $- 5$ .

$- 20$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(\frac{π}{6} + 2 π n, 20), (\frac{7 π}{6} + 2 π n, - 20)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5