Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{64 x^{2} - 25}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 64 x^{2} - 25$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [64 x^{2} - 25] - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $64 x^{2} - 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64 x^{2}$ rispetto a $x$ è $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $2$ per $64$ .

$\frac{x (128 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $- 25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (128 x + 0) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Somma $128 x$ e $0$ .

$\frac{x (128 x) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{128 (x^{1} x) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{128 (x^{1} x^{1}) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{128 x^{1 + 1} - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9

Semplifica.

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Passaggio 1.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2}) - - 25}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.2.1.1

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$\frac{128 x^{2} - 64 x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 25$ .

$\frac{128 x^{2} - 64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2.2

Sottrai $64 x^{2}$ da $128 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$ .

$\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$64 x^{2} + 25 = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Sottrai $25$ da entrambi i lati dell'equazione.

$64 x^{2} = - 25$

Passaggio 2.3.2

Dividi per $64$ ciascun termine in $64 x^{2} = - 25$ e semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1

Dividi per $64$ ciascun termine in $64 x^{2} = - 25$ .

$\frac{64 x^{2}}{64} = \frac{- 25}{64}$

Passaggio 2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{64 x^{2}}{64} = \frac{- 25}{64}$

Passaggio 2.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{64}$

Passaggio 2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{25}{64}$

Passaggio 2.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{25}{64}}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{25}{64}}$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $- \frac{25}{64}$ come ${(\frac{5 i}{8})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5 i}{8})}^{2}}$

Passaggio 2.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{5 i}{8}$

Passaggio 2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 2.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{5 i}{8}$

Passaggio 2.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{5 i}{8}$

Passaggio 2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{5 i}{8}, - \frac{5 i}{8}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{64 x^{2} - 25}{x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{64 {(0)}^{2} - 25}{0}$

Passaggio 4.1.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

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