Calcolo Esempi

$g (x) = 3 x^{4} + 18 x^{2} - 15$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} + 18 x^{2} - 15$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18 x^{2}$ rispetto a $x$ è $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{3} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $18$ .

$12 x^{3} + 36 x + \frac{d}{d x} [- 15]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{3} + 36 x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $12 x^{3} + 36 x$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 36 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} + 36 x$ .

$12 x^{3} + 36 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} + 36 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} + 36 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3} + 36 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $12 x$ da $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) + 36 x = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $12 x$ da $36 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $12 x$ da $12 x (x^{2}) + 12 x (3)$ .

$12 x (x^{2} + 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x^{2} + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x^{2} + 3$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $x^{2} + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 3$

Passaggio 2.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Passaggio 2.5.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.3.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Passaggio 2.5.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = i \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.2.4.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - i \sqrt{3}$

Passaggio 2.5.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x (x^{2} + 3) = 0$ vera.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $3 x^{4} + 18 x^{2} - 15$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$3 {(0)}^{4} + 18 {(0)}^{2} - 15$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2} - 15$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 + 18 {(0)}^{2} - 15$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 18 \cdot 0 - 15$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $18$ per $0$ .

$0 + 0 - 15$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 - 15$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $15$ da $0$ .

$- 15$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(0, - 15)$

Passaggio 5