Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{100 x^{2} + 81}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 100 x^{2} + 81$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 81] - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $100 x^{2} + 81$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100 x^{2}$ rispetto a $x$ è $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $2$ per $100$ .

$\frac{x (200 x + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x (200 x + 0) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Somma $200 x$ e $0$ .

$\frac{x (200 x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x^{1}) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{200 x^{1 + 1} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81)}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2}) - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.2.1.1

Moltiplica $100$ per $- 1$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.2.2

Sottrai $100 x^{2}$ da $200 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.9.3.1

Riscrivi $100 x^{2}$ come ${(10 x)}^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 81}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.3.2

Riscrivi $81$ come $9^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 9^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.9.3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 10 x$ e $b = 9$ .

$f' (x) = \frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$10 x + 9 = 0$

$10 x - 9 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $10 x + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Imposta $10 x + 9$ uguale a $0$ .

$10 x + 9 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Risolvi $10 x + 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x = - 9$

Passaggio 2.3.2.2.2

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 9$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 9}{10}$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{9}{10}$

Passaggio 2.3.3

Imposta $10 x - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $10 x - 9$ uguale a $0$ .

$10 x - 9 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Risolvi $10 x - 9 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$10 x = 9$

Passaggio 2.3.3.2.2

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = 9$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{9}{10}$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$ vera.

$x = - \frac{9}{10}, \frac{9}{10}$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{100 x^{2} + 81}{x}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = - \frac{9}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- \frac{9}{10}$ a $x$ .

$\frac{100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81}{- \frac{9}{10}}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{9}{10}$ .

$(100 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{10})}^{2}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 4.1.2.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{10}$ .

$(100 ({(- 1)}^{2} \frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 4.1.2.2.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$(100 (1 \frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 4.1.2.2.3

Moltiplica $\frac{9^{2}}{10^{2}}$ per $1$ .

$(100 \frac{9^{2}}{10^{2}} + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 4.1.2.2.4

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$(100 \frac{81}{10^{2}} + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 4.1.2.2.5

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 4.1.2.2.6

Elimina il fattore comune di $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 4.1.2.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$(81 + 81) (- \frac{10}{9})$

Passaggio 4.1.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Somma $81$ e $81$ .

$162 (- \frac{10}{9})$

Passaggio 4.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{10}{9}$ nel numeratore.

$162 (\frac{- 10}{9})$

Passaggio 4.1.2.3.2.2

Scomponi $9$ da $162$ .

$9 (18) \frac{- 10}{9}$

Passaggio 4.1.2.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$9 \cdot 18 \frac{- 10}{9}$

Passaggio 4.1.2.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$18 \cdot - 10$

Passaggio 4.1.2.3.3

Moltiplica $18$ per $- 10$ .

$- 180$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{9}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{9}{10}$ a $x$ .

$\frac{100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81}{\frac{9}{10}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81) \frac{10}{9}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{10}$ .

$(100 \frac{9^{2}}{10^{2}} + 81) \frac{10}{9}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$(100 \frac{81}{10^{2}} + 81) \frac{10}{9}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) \frac{10}{9}$

Passaggio 4.2.2.2.4

Elimina il fattore comune di $100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) \frac{10}{9}$

Passaggio 4.2.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$(81 + 81) \frac{10}{9}$

Passaggio 4.2.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Somma $81$ e $81$ .

$162 (\frac{10}{9})$

Passaggio 4.2.2.3.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.2.1

Scomponi $9$ da $162$ .

$9 (18) \frac{10}{9}$

Passaggio 4.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$9 \cdot 18 \frac{10}{9}$

Passaggio 4.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$18 \cdot 10$

Passaggio 4.2.2.3.3

Moltiplica $18$ per $10$ .

$180$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\frac{100 {(0)}^{2} + 81}{0}$

Passaggio 4.3.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(- \frac{9}{10}, - 180), (\frac{9}{10}, 180)$

Passaggio 5