Calcolo Esempi

$h (x) = \cos (\frac{3 x}{2})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Passaggio 1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 x}{2}$ .

$- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.2

$\frac{3}{2}$ e $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $h (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ .

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.1.2.1.2

Dividi $\sin (\frac{3 x}{2})$ per $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Passaggio 2.3.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Passaggio 2.3.4

Poni il numeratore uguale a zero.

$3 x = 0$

Passaggio 2.3.5

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 0$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Passaggio 2.3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3.6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Passaggio 2.3.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1.1

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 2.3.7.2.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 2.3.7.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1.1.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 2.3.7.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 2.3.7.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Passaggio 2.3.7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.1

Semplifica $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.1.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Passaggio 2.3.7.2.2.1.2

$\frac{2}{3}$ e $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 2.3.8

Trova il periodo di $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.3.8.2

Sostituisci $b$ con $\frac{3}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Passaggio 2.3.8.3

$\frac{3}{2}$ corrisponde approssimativamente a $1.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2.3.8.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$2 π \frac{2}{3}$

Passaggio 2.3.8.5

Moltiplica $2 π \frac{2}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.5.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Passaggio 2.3.8.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Passaggio 2.3.8.5.3

$\frac{4}{3}$ e $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Passaggio 2.3.9

Il periodo della funzione $\sin (\frac{3 x}{2})$ è $\frac{4 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{4 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{4 π n}{3}, \frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.4

Consolida le risposte.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $\cos (\frac{3 x}{2})$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$\cos (\frac{3 (0)}{2})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Scomponi $2$ da $3 (0)$ .

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Passaggio 4.1.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Passaggio 4.1.2.1.2.4

Dividi $3 \cdot (0)$ per $1$ .

$\cos (3 \cdot (0))$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\cos (0)$

Passaggio 4.1.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$1$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $\frac{2 π}{3}$ a $x$ .

$\cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

$3$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

Passaggio 4.2.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1

Riduci l'espressione $\frac{6 π}{3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $6 π$ .

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Passaggio 4.2.2.3.1.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

Passaggio 4.2.2.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

Passaggio 4.2.2.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

Passaggio 4.2.2.3.2

Dividi $2 π$ per $1$ .

$\cos (\frac{2 π}{2})$

Passaggio 4.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{2 π}{2})$

Passaggio 4.2.2.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\cos (π)$

Passaggio 4.2.2.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- \cos (0)$

Passaggio 4.2.2.6

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(0 + \frac{4 π n}{3}, 1), (\frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}, - 1)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5