Calcolo Esempi

$f (x) = 7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 12)}^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = - 3 x^{2} + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 3 x^{2} + 12$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 (2 u \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x^{2} + 12$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.6

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.7

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 6 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.8

Somma $- 6 x$ e $0$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 6 x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.9

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$7 (- 12 (- 3 x^{2} + 12) x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.2.10

Moltiplica $- 12$ per $7$ .

$- 84 (- 3 x^{2} + 12) x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 84 (- 3 x^{2} + 12) x + 0$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(- 84 (- 3 x^{2}) - 84 \cdot 12) x + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 84 (- 3 x^{2}) x - 84 \cdot 12 x + 0$

Passaggio 1.1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.3.1

Moltiplica $- 3$ per $- 84$ .

$252 x^{2} x - 84 \cdot 12 x + 0$

Passaggio 1.1.4.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$252 (x^{1} x^{2}) - 84 \cdot 12 x + 0$

Passaggio 1.1.4.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$252 x^{1 + 2} - 84 \cdot 12 x + 0$

Passaggio 1.1.4.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$252 x^{3} - 84 \cdot 12 x + 0$

Passaggio 1.1.4.3.5

Moltiplica $- 84$ per $12$ .

$252 x^{3} - 1008 x + 0$

Passaggio 1.1.4.3.6

Somma $252 x^{3} - 1008 x$ e $0$ .

$f' (x) = 252 x^{3} - 1008 x$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $252 x^{3} - 1008 x$ .

$252 x^{3} - 1008 x$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $252 x^{3} - 1008 x = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$252 x^{3} - 1008 x = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $252 x$ da $252 x^{3} - 1008 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $252 x$ da $252 x^{3}$ .

$252 x (x^{2}) - 1008 x = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $252 x$ da $- 1008 x$ .

$252 x (x^{2}) + 252 x (- 4) = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $252 x$ da $252 x (x^{2}) + 252 x (- 4)$ .

$252 x (x^{2} - 4) = 0$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$252 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$252 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$252 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.6

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.6.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $252 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2, 2$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola per $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $0$ a $x$ .

$7 {(- 3 {(0)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$7 {(- 3 \cdot 0 + 12)}^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$7 {(0 + 12)}^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Somma $0$ e $12$ .

$7 \cdot 12^{2} + 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$7 \cdot 144 + 1$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $7$ per $144$ .

$1008 + 1$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $1008$ e $1$ .

$1009$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$7 {(- 3 {(- 2)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$7 {(- 3 \cdot 4 + 12)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$7 {(- 12 + 12)}^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.2

Somma $- 12$ e $12$ .

$7 \cdot 0^{2} + 1$

Passaggio 4.2.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$7 \cdot 0 + 1$

Passaggio 4.2.2.1.4

Moltiplica $7$ per $0$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $2$ a $x$ .

$7 {(- 3 {(2)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$7 {(- 3 \cdot 4 + 12)}^{2} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.1.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$7 {(- 12 + 12)}^{2} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.2

Somma $- 12$ e $12$ .

$7 \cdot 0^{2} + 1$

Passaggio 4.3.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$7 \cdot 0 + 1$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $7$ per $0$ .

$0 + 1$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(0, 1009), (- 2, 1), (2, 1)$

Passaggio 5