Calcolo Esempi

$f (x) = \sin (x) + x^{3} - 7 x + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + x^{3} - 7 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 + 0$

Passaggio 1.6

Semplifica.

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Passaggio 1.6.1

Somma $\cos (x) + 3 x^{2} - 7$ e $0$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7$

Passaggio 1.6.2

Riordina i termini.

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 + \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 7 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x + 0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$6 x + 0 - \sin (x)$

Passaggio 2.5

Somma $6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - \sin (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f''' (x) = 6 - \cos (x)$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

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Passaggio 4.1

Differenzia.

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Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Passaggio 4.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 4.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$0 + \sin (x)$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$f^{4} (x) = \sin (x)$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$\sin (x)$