Calcolo Esempi

Poiché ${\displaystyle 6}$ è costante rispetto a ${\displaystyle x}$, la derivata di ${\displaystyle 6x^5}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[x^5\right]}$.

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ è ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ dove ${\displaystyle n=5}$.

Moltiplica ${\displaystyle 5}$ per ${\displaystyle 6}$.

Usa ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ per riscrivere ${\displaystyle \sqrt{x}}$ come ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

Usa la regola della potenza ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ per combinare gli esponenti.

Per scrivere ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Per scrivere ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\displaystyle 6}$, moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di ${\displaystyle 1}$.

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

Somma ${\displaystyle 3}$ e ${\displaystyle 2}$.

Poiché ${\displaystyle 4}$ è costante rispetto a ${\displaystyle x}$, la derivata di ${\displaystyle 4x^{\frac{5}{6}}}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{5}{6}}\right]}$.

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ è ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ dove ${\displaystyle n=\frac{5}{6}}$.

Per scrivere ${\displaystyle -1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per ${\displaystyle \frac{6}{6}}$.

${\displaystyle -1}$ e ${\displaystyle \frac{6}{6}}$.

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

Semplifica il numeratore.

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${\displaystyle \frac{5}{6}}$ e ${\displaystyle x^{-\frac{1}{6}}}$.

${\displaystyle 4}$ e ${\displaystyle \frac{5x^{-\frac{1}{6}}}{6}}$.

Moltiplica ${\displaystyle 5}$ per ${\displaystyle 4}$.

Sposta ${\displaystyle x^{-\frac{1}{6}}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Scomponi ${\displaystyle 2}$ da ${\displaystyle 20}$.

Elimina i fattori comuni.

Poiché ${\displaystyle -10}$ è costante rispetto a ${\displaystyle x}$, la derivata di ${\displaystyle -10e^{\frac{x}{2}}}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle -10\frac{d}{dx}\left[e^{\frac{x}{2}}\right]}$.

Differenzia usando la regola della catena secondo cui ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ è ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ dove ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{x}{2}}$.

Poiché ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ è costante rispetto a ${\displaystyle x}$, la derivata di ${\displaystyle \frac{x}{2}}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ è ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ dove ${\displaystyle n=1}$.

Moltiplica ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ per ${\displaystyle 1}$.

${\displaystyle e^{\frac{x}{2}}}$ e ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

${\displaystyle -10}$ e ${\displaystyle \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$.

Elimina il fattore comune di ${\displaystyle -10}$ e ${\displaystyle 2}$.

Poiché ${\displaystyle 30}$ è costante rispetto a ${\displaystyle x}$, la derivata di ${\displaystyle 30x^4}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle 30\frac{d}{dx}\left[x^4\right]}$.

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ è ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ dove ${\displaystyle n=4}$.

Moltiplica ${\displaystyle 4}$ per ${\displaystyle 30}$.

Poiché ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ è costante rispetto a ${\displaystyle x}$, la derivata di ${\displaystyle 3^x\ln \left(3\right)}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle \ln \left(3\right)\frac{d}{dx}\left[3^x\right]}$.

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[a^x\right]}$ è ${\displaystyle a^x\ln \left(a\right)}$ dove ${\displaystyle a}$=${\displaystyle 3}$.

Eleva ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ alla potenza di ${\displaystyle 1}$.

Eleva ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ alla potenza di ${\displaystyle 1}$.

Usa la regola della potenza ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ per combinare gli esponenti.

Somma ${\displaystyle 1}$ e ${\displaystyle 1}$.

Poiché ${\displaystyle \frac{10}{3}}$ è costante rispetto a ${\displaystyle x}$, la derivata di ${\displaystyle \frac{10}{3x^{\frac{1}{6}}}}$ rispetto a ${\displaystyle x}$ è ${\displaystyle \frac{10}{3}\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}\right]}$.

Riscrivi ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}}$ come ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^{-1}}$.

Differenzia usando la regola della catena secondo cui ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ è ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ dove ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ e ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{1}{6}}}$.

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ è ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ dove ${\displaystyle n=\frac{1}{6}}$.

Moltiplica gli esponenti in ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^{-2}}$.