Calcolo Esempi

$f (x) = (x^{2} + 3) (5 x^{2} - 3)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} + 3$ e $g (x) = 5 x^{2} - 3$ .

$(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3] + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(x^{2} + 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x^{2} + 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$(x^{2} + 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 3]) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} + 3) (10 x + 0) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.6.1

Somma $10 x$ e $0$ .

$(x^{2} + 3) (10 x) + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $10$ alla sinistra di $x^{2} + 3$ .

$10 \cdot (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 1.2.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (2 x + 0)$

Passaggio 1.2.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$10 (x^{2} + 3) x + (5 x^{2} - 3) (2 x)$

Passaggio 1.2.10.2

Sposta $2$ alla sinistra di $5 x^{2} - 3$ .

$10 (x^{2} + 3) x + 2 \cdot (5 x^{2} - 3) x$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(10 x^{2} + 10 \cdot 3) x + 2 (5 x^{2} - 3) x$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$10 x^{2} x + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2} - 3) x$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$10 x^{2} x + 10 \cdot 3 x + (2 (5 x^{2}) + 2 \cdot - 3) x$

Passaggio 1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$10 x^{2} x + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Passaggio 1.3.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.5.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 (x^{1} x^{2}) + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Passaggio 1.3.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 x^{1 + 2} + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Passaggio 1.3.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$10 x^{3} + 10 \cdot 3 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Passaggio 1.3.5.4

Moltiplica $10$ per $3$ .

$10 x^{3} + 30 x + 2 (5 x^{2}) x + 2 \cdot - 3 x$

Passaggio 1.3.5.5

Moltiplica $5$ per $2$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{2} x + 2 \cdot - 3 x$

Passaggio 1.3.5.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 3 x$

Passaggio 1.3.5.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 3 x$

Passaggio 1.3.5.8

Somma $1$ e $2$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{3} + 2 \cdot - 3 x$

Passaggio 1.3.5.9

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$10 x^{3} + 30 x + 10 x^{3} - 6 x$

Passaggio 1.3.5.10

Somma $10 x^{3}$ e $10 x^{3}$ .

$20 x^{3} + 30 x - 6 x$

Passaggio 1.3.5.11

Sottrai $6 x$ da $30 x$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + 24 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x^{3} + 24 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$60 x^{2} + 24 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + 24$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $60 x^{2} + 24$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $60 x^{2}$ rispetto a $x$ è $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [24]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [24]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24$ rispetto a $x$ è $0$ .

$120 x + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $120 x$ e $0$ .

$f''' (x) = 120 x$

Passaggio 4

La derivata terza di $f (x)$ rispetto a $x$ è $120 x$ .

$120 x$