Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{63}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{63}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 1.2

Poiché $63$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{63}{x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $63 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$63 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 1.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$63 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$63 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Passaggio 1.3.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$63 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

Passaggio 1.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$63 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{3}$ .

$63 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 1.5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$63 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.6

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$63 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$63 (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$63 (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$63 (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Passaggio 1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$63 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Passaggio 1.10

$x^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$63 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 1.11

Moltiplica $- 1$ per $63$ .

$- 63 \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Passaggio 1.12

$- 63$ e $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$\frac{- 63 x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Passaggio 1.13

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 63}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.14

Scomponi $3$ da $- 63$ .

$\frac{3 \cdot - 21}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.15

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 21}{3 (x^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 1.15.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 21}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.15.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 21}{x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 1.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{21}{x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 21$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{21}{x^{\frac{4}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- 21 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$- 21 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ come ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$- 21 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

$\frac{4}{3}$ e $- 1$ .

$- 21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4}{3}}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 21 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{4}{3}$ .

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1})$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 3}{3}})$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $3$ da $- 4$ .

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 7}{3}})$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{- \frac{7}{3}})$

Passaggio 2.9

$x^{- \frac{7}{3}}$ e $\frac{4}{3}$ .

$- 21 (- \frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3})$

Passaggio 2.10

Moltiplica $- 1$ per $- 21$ .

$21 \frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3}$

Passaggio 2.11

$21$ e $\frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3}$ .

$\frac{21 (x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4)}{3}$

Passaggio 2.12

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Moltiplica $4$ per $21$ .

$\frac{84 x^{- \frac{7}{3}}}{3}$

Passaggio 2.12.2

Sposta $x^{- \frac{7}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{84}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 2.13

Scomponi $3$ da $84$ .

$\frac{3 \cdot 28}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 2.14

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 28}{3 (x^{\frac{7}{3}})}$

Passaggio 2.14.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 28}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 2.14.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{28}{x^{\frac{7}{3}}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{28}{x^{\frac{7}{3}}}$ .

$\frac{28}{x^{\frac{7}{3}}}$