Calcolo Esempi

$f (t) = \frac{7 \ln (t)}{t}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{7 \ln (t)}{t}$ rispetto a $t$ è $7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t$ .

$7 \frac{t \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 1.3

La derivata di $\ln (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{t \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$t$ e $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Riscrivi l'espressione.

$7 \frac{1 - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t) \cdot 1}{t^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$

Passaggio 1.4.4.2

$7$ e $\frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$ .

$\frac{7 (1 - \ln (t))}{t^{2}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 \cdot 1 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{7 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2

Moltiplica $7 (- \ln (t))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{7 - 7 \ln (t)}{t^{2}}$

Passaggio 1.5.2.2.2

Semplifica $- 7 \ln (t)$ spostando $7$ all'interno del logaritmo.

$f' (t) = \frac{7 - \ln (t^{7})}{t^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 - \ln (t^{7})$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $7$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \ln (t^{7})$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

$t^{2}$ e $\frac{1}{t^{7}}$ .

$\frac{- \frac{t^{2}}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Elimina il fattore comune di $t^{2}$ e $t^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Scomponi $t^{2}$ da $t^{7}$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} (7 t^{6}) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{- 7 \frac{1}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.4.2

$- 7$ e $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{\frac{- 7}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.4.3

$\frac{- 7}{t^{5}}$ e $t^{6}$ .

$\frac{\frac{- 7 t^{6}}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.4.4

Elimina il fattore comune di $t^{6}$ e $t^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.4.1

Scomponi $t^{5}$ da $- 7 t^{6}$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{- 7 t}{1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.4.4.2.4

Dividi $- 7 t$ per $1$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) (2 t)}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.6.2

Scomponi $t$ da $- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.2.1

Scomponi $t$ da $- 7 t$ .

$\frac{t \cdot - 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.6.2.2

Scomponi $t$ da $- 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

$\frac{t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Passaggio 2.4.6.2.3

Scomponi $t$ da $t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Passaggio 2.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Scomponi $t$ da $t^{4}$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Passaggio 2.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Passaggio 2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 7 - 2 \cdot 7 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.1

Moltiplica $- 2$ per $7$ .

$\frac{- 7 - 14 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Passaggio 2.6.2.1.2

Moltiplica $- 2 (- \ln (t^{7}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{- 7 - 14 + 2 \ln (t^{7})}{t^{3}}$

Passaggio 2.6.2.1.2.2

Semplifica $2 \ln (t^{7})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{- 7 - 14 + \ln ({(t^{7})}^{2})}{t^{3}}$

Passaggio 2.6.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{7})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{7 \cdot 2})}{t^{3}}$

Passaggio 2.6.2.1.3.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Passaggio 2.6.2.2

Sottrai $14$ da $- 7$ .

$\frac{- 21 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi $- 21$ come $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Passaggio 2.6.4

Scomponi $- 1$ da $\ln (t^{14})$ .

$\frac{- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Passaggio 2.6.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))$ .

$\frac{- 1 (21 - \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Passaggio 2.6.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (t) = - \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (t)$ rispetto a $t$ è $- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$ .

$- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$