Calcolo Esempi

$f (x) = 1 + x + x^{2} + \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x + x^{2} + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 1 + 2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$0 + 1 + 2 x + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Somma $0$ e $1$ .

$1 + 2 x + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.3.2

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x + \frac{1}{x} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + \frac{1}{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 - x^{- 2} + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $2 - \frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$2 - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{x^{2}} + 2$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 2$