Calcolo Esempi

$P (t) = \frac{1000 e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $1000$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{1000 e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}$ rispetto a $t$ è $1000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}]$ .

$1000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = e^{0.12 t}$ e $g (t) = 19 + e^{0.12 t}$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 0.12 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $0.12 t$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $0.12 t$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $0.12$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $0.12 t$ rispetto a $t$ è $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} (0.12 \frac{d}{d t} [t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} (0.12 \cdot 1) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $0.12$ per $1$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} \cdot 0.12 - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.4.3.2

Sposta $0.12$ alla sinistra di $(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t}$ .

$1000 \frac{0.12 \cdot ((19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $19 + e^{0.12 t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.4.5

Poiché $19$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $19$ rispetto a $t$ è $0$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (0 + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.4.6

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 0.12 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $0.12 t$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $0.12 t$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t + 0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.7

Somma $0.12 t$ e $0.12 t$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.24 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.8

Poiché $0.12$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $0.12 t$ rispetto a $t$ è $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.24 t} (0.12 \frac{d}{d t} [t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.9

Moltiplica $0.12$ per $- 1$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t} \cdot 1}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Moltiplica $- 0.12$ per $1$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.11.2

$1000$ e $\frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$ .

$\frac{1000 (0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1000 ((0.12 \cdot 19 + 0.12 e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1000 (0.12 \cdot 19 e^{0.12 t} + 0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1000 (0.12 \cdot 19 e^{0.12 t}) + 1000 (0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.12.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.4.1.1

Moltiplica $0.12$ per $19$ .

$\frac{1000 (2.28 e^{0.12 t}) + 1000 (0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.12.4.1.2

Moltiplica $2.28$ per $1000$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.12.4.1.3

Moltiplica $e^{0.12 t}$ per $e^{0.12 t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.4.1.3.1

Sposta $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 (e^{0.12 t} e^{0.12 t})) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.12.4.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 e^{0.12 t + 0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.12.4.1.3.3

Somma $0.12 t$ e $0.12 t$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 e^{0.24 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.12.4.1.4

Moltiplica $0.12$ per $1000$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 120 e^{0.24 t} + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.12.4.1.5

Moltiplica $- 0.12$ per $1000$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 120 e^{0.24 t} - 120 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.12.4.2

Sottrai $120 e^{0.24 t}$ da $120 e^{0.24 t}$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 0 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.12.4.3

Moltiplica $0$ per $e^{0.24 t}$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 0}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 1.12.4.4

Somma $2280 e^{0.12 t}$ e $0$ .

$f' (t) = \frac{2280 e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2280$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{2280 e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$ rispetto a $t$ è $2280 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}]$ .

$2280 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}]$

Passaggio 2.2

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{({(19 + e^{0.12 t})}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(19 + e^{0.12 t})}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 0.12 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $0.12 t$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $0.12 t$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $0.12$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $0.12 t$ rispetto a $t$ è $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} (0.12 \frac{d}{d t} [t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} (0.12 \cdot 1) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $0.12$ per $1$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} \cdot 0.12 - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.2

Sposta $0.12$ alla sinistra di ${(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 \cdot ({(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t}) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = 19 + e^{0.12 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $19 + e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $19 + e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (2 (19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.7.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $19 + e^{0.12 t}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.7.3

Poiché $19$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $19$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (0 + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.7.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 0.12 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $0.12 t$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [0.12 t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.8.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [0.12 t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $0.12 t$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t + 0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.10

Somma $0.12 t$ e $0.12 t$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.11

Poiché $0.12$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $0.12 t$ rispetto a $t$ è $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) (0.12 \frac{d}{d t} [t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Sposta $0.12$ alla sinistra di $19 + e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.24 t} (0.12 \cdot (19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.12.2

Moltiplica $0.12$ per $- 2$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) \cdot 1)}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Moltiplica $19 + e^{0.12 t}$ per $1$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} (19 + e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.14.2

$2280$ e $\frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} (19 + e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$ .

$\frac{2280 (0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} (19 + e^{0.12 t}))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2280 (0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19 - 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2280 (0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1.1

Riscrivi ${(19 + e^{0.12 t})}^{2}$ come $(19 + e^{0.12 t}) (19 + e^{0.12 t})$ .

$\frac{2280 (0.12 ((19 + e^{0.12 t}) (19 + e^{0.12 t})) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.2

Espandi $(19 + e^{0.12 t}) (19 + e^{0.12 t})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2280 (0.12 (19 (19 + e^{0.12 t}) + e^{0.12 t} (19 + e^{0.12 t})) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2280 (0.12 (19 \cdot 19 + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t} (19 + e^{0.12 t})) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2280 (0.12 (19 \cdot 19 + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t} \cdot 19 + e^{0.12 t} e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1.3.1.1

Moltiplica $19$ per $19$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t} \cdot 19 + e^{0.12 t} e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.3.1.2

Sposta $19$ alla sinistra di $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + 19 \cdot e^{0.12 t} + e^{0.12 t} e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.3.1.3

Moltiplica $e^{0.12 t}$ per $e^{0.12 t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1.3.1.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t + 0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.3.1.3.2

Somma $0.12 t$ e $0.12 t$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + 19 e^{0.12 t} + e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.3.2

Somma $19 e^{0.12 t}$ e $19 e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 38 e^{0.12 t} + e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2280 ((0.12 \cdot 361 + 0.12 (38 e^{0.12 t}) + 0.12 e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1.5.1

Moltiplica $0.12$ per $361$ .

$\frac{2280 ((43.32 + 0.12 (38 e^{0.12 t}) + 0.12 e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.5.2

Moltiplica $38$ per $0.12$ .

$\frac{2280 ((43.32 + 4.56 e^{0.12 t} + 0.12 e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.12 t} e^{0.12 t} + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1.7.1

Moltiplica $e^{0.12 t}$ per $e^{0.12 t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1.7.1.1

Sposta $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 (e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.7.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.12 t + 0.12 t} + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.7.1.3

Somma $0.12 t$ e $0.12 t$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.7.2

Moltiplica $e^{0.24 t}$ per $e^{0.12 t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1.7.2.1

Sposta $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 (e^{0.12 t} e^{0.24 t})) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 e^{0.12 t + 0.24 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.7.2.3

Somma $0.12 t$ e $0.24 t$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t}) + 2280 (4.56 e^{0.24 t}) + 2280 (0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1.9.1

Moltiplica $43.32$ per $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 2280 (4.56 e^{0.24 t}) + 2280 (0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.9.2

Moltiplica $4.56$ per $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.9.3

Moltiplica $0.12$ per $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.10

Moltiplica $19$ per $- 0.24$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 2280 (- 4.56 e^{0.24 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.11

Moltiplica $- 4.56$ per $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.12

Moltiplica $e^{0.24 t}$ per $e^{0.12 t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.3.1.12.1

Sposta $e^{0.12 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 (e^{0.12 t} e^{0.24 t}))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.12.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.12 t + 0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.12.3

Somma $0.12 t$ e $0.24 t$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.1.13

Moltiplica $- 0.24$ per $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.2

Sottrai $10396.8 e^{0.24 t}$ da $10396.8 e^{0.24 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 0 e^{0.24 t} - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.3

Moltiplica $0$ per $e^{0.24 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 0 - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.4

Somma $98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t}$ e $0$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.3.5

Sottrai $547.2 e^{0.36 t}$ da $273.6 e^{0.36 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} - 273.6 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.4

Scomponi $273.6$ da $98769.6 e^{0.12 t} - 273.6 e^{0.36 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.4.1

Scomponi $273.6$ da $98769.6 e^{0.12 t}$ .

$\frac{273.6 (361 e^{0.12 t}) - 273.6 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.4.2

Scomponi $273.6$ da $- 273.6 e^{0.36 t}$ .

$\frac{273.6 (361 e^{0.12 t}) + 273.6 (- e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 2.15.4.3

Scomponi $273.6$ da $273.6 (361 e^{0.12 t}) + 273.6 (- e^{0.36 t})$ .

$f'' (t) = \frac{273.6 (361 e^{0.12 t} - e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $P (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{273.6 (361 e^{0.12 t} - e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$ .

$\frac{273.6 (361 e^{0.12 t} - e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$