Calcolo Esempi

$f (r) = r {(4 r + 9)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ è $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ dove $f (r) = r$ e $g (r) = {(4 r + 9)}^{3}$ .

$r \frac{d}{d r} [{(4 r + 9)}^{3}] + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = r^{3}$ e $g (r) = 4 r + 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 r + 9$ .

$r (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$r (3 u^{2} \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 r + 9$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} \frac{d}{d r} [4 r + 9]) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 r + 9$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [4 r] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (\frac{d}{d r} [4 r] + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 1.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $4 r$ rispetto a $r$ è $4 \frac{d}{d r} [r]$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 + \frac{d}{d r} [9])) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 1.3.5

Poiché $9$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $9$ rispetto a $r$ è $0$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} (4 + 0)) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$r (3 {(4 r + 9)}^{2} \cdot 4) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3} \frac{d}{d r} [r]$

Passaggio 1.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3} \cdot 1$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica ${(4 r + 9)}^{3}$ per $1$ .

$r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Scomponi ${(4 r + 9)}^{2}$ da $r (12 {(4 r + 9)}^{2}) + {(4 r + 9)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Scomponi ${(4 r + 9)}^{2}$ da $r (12 {(4 r + 9)}^{2})$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{3}$

Passaggio 1.4.1.2

Scomponi ${(4 r + 9)}^{2}$ da ${(4 r + 9)}^{3}$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{2} (4 r + 9)$

Passaggio 1.4.1.3

Scomponi ${(4 r + 9)}^{2}$ da ${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12)) + {(4 r + 9)}^{2} (4 r + 9)$ .

${(4 r + 9)}^{2} (r \cdot (12) + 4 r + 9)$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sposta $12$ alla sinistra di $r$ .

${(4 r + 9)}^{2} (12 \cdot r + 4 r + 9)$

Passaggio 1.4.2.2

Somma $12 r$ e $4 r$ .

$f' (r) = {(4 r + 9)}^{2} (16 r + 9)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi ${(4 r + 9)}^{2}$ come $(4 r + 9) (4 r + 9)$ .

$\frac{d}{d r} [(4 r + 9) (4 r + 9) (16 r + 9)]$

Passaggio 2.2

Espandi $(4 r + 9) (4 r + 9)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r + 9) + 9 (4 r + 9)) (16 r + 9)]$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r + 9)) (16 r + 9)]$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d r} [(4 r (4 r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 r \cdot r + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $r$ per $r$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Sposta $r$ .

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 (r \cdot r) + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Passaggio 2.3.1.2.2

Moltiplica $r$ per $r$ .

$\frac{d}{d r} [(4 \cdot 4 r^{2} + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 4 r \cdot 9 + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 9 (4 r) + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 36 r + 9 \cdot 9) (16 r + 9)]$

Passaggio 2.3.1.6

Moltiplica $9$ per $9$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 36 r + 36 r + 81) (16 r + 9)]$

Passaggio 2.3.2

Somma $36 r$ e $36 r$ .

$\frac{d}{d r} [(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 r + 9)]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ è $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ dove $f (r) = 16 r^{2} + 72 r + 81$ e $g (r) = 16 r + 9$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) \frac{d}{d r} [16 r + 9] + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 r + 9$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [16 r] + \frac{d}{d r} [9]$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (\frac{d}{d r} [16 r] + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Passaggio 2.5.2

Poiché $16$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $16 r$ rispetto a $r$ è $16 \frac{d}{d r} [r]$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $16$ per $1$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 + \frac{d}{d r} [9]) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Passaggio 2.5.5

Poiché $9$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $9$ rispetto a $r$ è $0$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) (16 + 0) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Passaggio 2.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Somma $16$ e $0$ .

$(16 r^{2} + 72 r + 81) \cdot 16 + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Passaggio 2.5.6.2

Sposta $16$ alla sinistra di $16 r^{2} + 72 r + 81$ .

$16 \cdot (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) \frac{d}{d r} [16 r^{2} + 72 r + 81]$

Passaggio 2.5.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 r^{2} + 72 r + 81$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (\frac{d}{d r} [16 r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Passaggio 2.5.8

Poiché $16$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $16 r^{2}$ rispetto a $r$ è $16 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (16 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Passaggio 2.5.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (16 (2 r) + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Passaggio 2.5.10

Moltiplica $2$ per $16$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + \frac{d}{d r} [72 r] + \frac{d}{d r} [81])$

Passaggio 2.5.11

Poiché $72$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $72 r$ rispetto a $r$ è $72 \frac{d}{d r} [r]$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [81])$

Passaggio 2.5.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [81])$

Passaggio 2.5.13

Moltiplica $72$ per $1$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 + \frac{d}{d r} [81])$

Passaggio 2.5.14

Poiché $81$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $81$ rispetto a $r$ è $0$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72 + 0)$

Passaggio 2.5.15

Somma $32 r + 72$ e $0$ .

$16 (16 r^{2} + 72 r + 81) + (16 r + 9) (32 r + 72)$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + (16 r + 9) (32 r + 72)$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + (16 r + 9) (32 r) + (16 r + 9) \cdot 72$

Passaggio 2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + (16 r + 9) \cdot 72$

Passaggio 2.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$16 (16 r^{2}) + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Passaggio 2.6.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Moltiplica $16$ per $16$ .

$256 r^{2} + 16 (72 r) + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Passaggio 2.6.5.2

Moltiplica $72$ per $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 16 \cdot 81 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Passaggio 2.6.5.3

Moltiplica $16$ per $81$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 16 r (32 r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Passaggio 2.6.5.4

Moltiplica $32$ per $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r \cdot r + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Passaggio 2.6.5.5

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 (r^{1} r) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Passaggio 2.6.5.6

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 (r^{1} r^{1}) + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Passaggio 2.6.5.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{1 + 1} + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Passaggio 2.6.5.8

Somma $1$ e $1$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 9 (32 r) + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Passaggio 2.6.5.9

Moltiplica $32$ per $9$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 16 r \cdot 72 + 9 \cdot 72$

Passaggio 2.6.5.10

Moltiplica $72$ per $16$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 1152 r + 9 \cdot 72$

Passaggio 2.6.5.11

Moltiplica $9$ per $72$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 288 r + 1152 r + 648$

Passaggio 2.6.5.12

Somma $288 r$ e $1152 r$ .

$256 r^{2} + 1152 r + 1296 + 512 r^{2} + 1440 r + 648$

Passaggio 2.6.5.13

Somma $256 r^{2}$ e $512 r^{2}$ .

$768 r^{2} + 1152 r + 1296 + 1440 r + 648$

Passaggio 2.6.5.14

Somma $1152 r$ e $1440 r$ .

$768 r^{2} + 2592 r + 1296 + 648$

Passaggio 2.6.5.15

Somma $1296$ e $648$ .

$f'' (r) = 768 r^{2} + 2592 r + 1944$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (r)$ rispetto a $r$ è $768 r^{2} + 2592 r + 1944$ .

$768 r^{2} + 2592 r + 1944$