Calcolo Esempi

$V (r) = k (13 r^{2} - r^{3})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $k$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $k (13 r^{2} - r^{3})$ rispetto a $r$ è $k \frac{d}{d r} [13 r^{2} - r^{3}]$ .

$k \frac{d}{d r} [13 r^{2} - r^{3}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $13 r^{2} - r^{3}$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [13 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$k (\frac{d}{d r} [13 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Passaggio 1.3

Poiché $13$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $13 r^{2}$ rispetto a $r$ è $13 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$k (13 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$k (13 (2 r) + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Passaggio 1.5

Moltiplica $2$ per $13$ .

$k (26 r + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Passaggio 1.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- r^{3}$ rispetto a $r$ è $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$k (26 r - \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Passaggio 1.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$k (26 r - (3 r^{2}))$

Passaggio 1.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$k (26 r - 3 r^{2})$

Passaggio 1.9

Semplifica.

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Passaggio 1.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$k (26 r) + k (- 3 r^{2})$

Passaggio 1.9.2

Sposta $26$ alla sinistra di $k$ .

$26 k r + k (- 3 r^{2})$

Passaggio 1.9.3

Riordina i termini.

$f' (r) = 26 k r - 3 r^{2} k$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $26 k r - 3 r^{2} k$ rispetto a $r$ è $\frac{d}{d r} [26 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

$\frac{d}{d r} [26 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d r} [26 k r]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $26 k$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $26 k r$ rispetto a $r$ è $26 k \frac{d}{d r} [r]$ .

$26 k \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$26 k \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $26$ per $1$ .

$26 k + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3 k$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $- 3 r^{2} k$ rispetto a $r$ è $- 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$26 k - 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$26 k - 3 k (2 r)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$26 k - 6 k r$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$f'' (r) = - 6 k r + 26 k$

Passaggio 3

La derivata seconda di $V (r)$ rispetto a $r$ è $- 6 k r + 26 k$ .

$- 6 k r + 26 k$