Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1 - 8 x}{8 - 6 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 - 8 x$ e $g (x) = 8 - 6 x$ .

$\frac{(8 - 6 x) \frac{d}{d x} [1 - 8 x] - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(8 - 6 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) \frac{d}{d x} [- 8 x] - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) (- 8 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(8 - 6 x) (- 8 \cdot 1) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$\frac{(8 - 6 x) \cdot - 8 - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $- 8$ alla sinistra di $8 - 6 x$ .

$\frac{- 8 \cdot (8 - 6 x) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 6 x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [- 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (- 6 \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.11

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x) \cdot 1}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.13

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 8 \cdot 8 - 8 (- 6 x) + 6 (1 - 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 8 \cdot 8 - 8 (- 6 x) + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $- 8$ per $8$ .

$\frac{- 64 - 8 (- 6 x) + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $- 6$ per $- 8$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.4

Moltiplica $- 8$ per $6$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 - 48 x}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Combina i termini opposti in $- 64 + 48 x + 6 - 48 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $48 x$ da $48 x$ .

$\frac{- 64 + 0 + 6}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Somma $- 64$ e $0$ .

$\frac{- 64 + 6}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Somma $- 64$ e $6$ .

$\frac{- 58}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{58}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Scomponi $2$ da $8 - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$- \frac{58}{{(2 (4) - 6 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.2

Scomponi $2$ da $- 6 x$ .

$- \frac{58}{{(2 (4) + 2 (- 3 x))}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.3

Scomponi $2$ da $2 (4) + 2 (- 3 x)$ .

$- \frac{58}{{(2 (4 - 3 x))}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Applica la regola del prodotto a $2 (4 - 3 x)$ .

$- \frac{58}{2^{2} {(4 - 3 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{58}{4 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Elimina il fattore comune di $58$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Scomponi $2$ da $58$ .

$- \frac{2 (29)}{4 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $4 {(4 - 3 x)}^{2}$ .

$- \frac{2 (29)}{2 (2 {(4 - 3 x)}^{2})}$

Passaggio 1.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2 \cdot 29}{2 (2 {(4 - 3 x)}^{2})}$

Passaggio 1.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = - \frac{29}{2 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $- \frac{29}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{29}{2 {(4 - 3 x)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}]$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}$ come ${({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 3 x)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 3 x)}^{- 2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 4 - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - 3 x$ .

$- \frac{29}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- \frac{29}{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - 3 x$ .

$- \frac{29}{2} (- 2 {(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 (\frac{29}{2}) ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Passaggio 2.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$2$ e $\frac{29}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 29}{2} ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $29$ .

$\frac{58}{2} ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Passaggio 2.3.2.3

${(4 - 3 x)}^{- 3}$ e $\frac{58}{2}$ .

$\frac{{(4 - 3 x)}^{- 3} \cdot 58}{2} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Passaggio 2.3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.4.1

Sposta $58$ alla sinistra di ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ .

$\frac{58 \cdot {(4 - 3 x)}^{- 3}}{2} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Passaggio 2.3.2.4.2

Sposta ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{58}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Passaggio 2.3.2.5

Elimina il fattore comune di $58$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.1

Scomponi $2$ da $58$ .

$\frac{2 \cdot 29}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Passaggio 2.3.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 {(4 - 3 x)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot 29}{2 ({(4 - 3 x)}^{3})} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Passaggio 2.3.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 29}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Passaggio 2.3.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 2.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Passaggio 2.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

$- 3$ e $\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

Moltiplica $- 3$ per $29$ .

$\frac{- 87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.7.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \cdot 1$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$ .

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$