Calcolo Esempi

$f (x) = {(x^{3} - 1)}^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x^{3} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 1$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2} + 0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2})$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9 {(x^{3} - 1)}^{2} x^{2}$

Passaggio 1.2.4.3

Riordina i fattori di $9 {(x^{3} - 1)}^{2} x^{2}$ .

$f' (x) = 9 x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x^{3} - 1)}^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 1)}^{2}] + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{3} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3} - 1$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3} - 1$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2})) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$9 (x^{2} (6 (x^{3} - 1) x^{2}) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$9 (x^{2} x^{2} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 (x^{2 + 2} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} (2 x))$

Passaggio 2.7

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{3} - 1)}^{2}$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + 2 \cdot {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$9 (x^{4} (6 x^{3} + 6 \cdot - 1) + 2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Passaggio 2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$9 (x^{4} (6 x^{3}) + x^{4} (6 \cdot - 1) + 2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Passaggio 2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 (x^{4} (6 x^{3})) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Passaggio 2.8.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$9 (x^{3} x^{4} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Passaggio 2.8.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$9 (x^{3 + 4} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Passaggio 2.8.4.1.3

Somma $3$ e $4$ .

$9 (x^{7} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Passaggio 2.8.4.2

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{7}$ .

$9 (6 \cdot x^{7}) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Passaggio 2.8.4.3

Moltiplica $6$ per $9$ .

$54 x^{7} + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Passaggio 2.8.4.4

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$54 x^{7} + 9 (x^{4} \cdot - 6) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Passaggio 2.8.4.5

Sposta $- 6$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$54 x^{7} + 9 (- 6 \cdot x^{4}) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Passaggio 2.8.4.6

Moltiplica $- 6$ per $9$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Passaggio 2.8.4.7

Moltiplica $2$ per $9$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 {(x^{3} - 1)}^{2} x$

Passaggio 2.8.5

Riordina i termini.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x {(x^{3} - 1)}^{2}$

Passaggio 2.8.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.1

Riscrivi ${(x^{3} - 1)}^{2}$ come $(x^{3} - 1) (x^{3} - 1)$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x ((x^{3} - 1) (x^{3} - 1))$

Passaggio 2.8.6.2

Espandi $(x^{3} - 1) (x^{3} - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} (x^{3} - 1) - 1 (x^{3} - 1))$

Passaggio 2.8.6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 (x^{3} - 1))$

Passaggio 2.8.6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.3.1.1

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.3.1.1.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3 + 3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3.1.1.2

Somma $3$ e $3$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - 1 \cdot x^{3} - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3.1.3

Riscrivi $- 1 x^{3}$ come $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3.1.4

Riscrivi $- 1 x^{3}$ come $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 2.8.6.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - x^{3} + 1)$

Passaggio 2.8.6.3.2

Sottrai $x^{3}$ da $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - 2 x^{3} + 1)$

Passaggio 2.8.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x \cdot x^{6} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Passaggio 2.8.6.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.5.1

Moltiplica $x$ per $x^{6}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.5.1.1

Sposta $x^{6}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 (x^{6} x) + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Passaggio 2.8.6.5.1.2

Moltiplica $x^{6}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.5.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 (x^{6} x^{1}) + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Passaggio 2.8.6.5.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{6 + 1} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Passaggio 2.8.6.5.1.3

Somma $6$ e $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Passaggio 2.8.6.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x \cdot x^{3} + 18 x \cdot 1$

Passaggio 2.8.6.5.3

Moltiplica $18$ per $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x \cdot x^{3} + 18 x$

Passaggio 2.8.6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.6.1

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.6.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 (x^{3} x) + 18 x$

Passaggio 2.8.6.6.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.6.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 (x^{3} x^{1}) + 18 x$

Passaggio 2.8.6.6.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x^{3 + 1} + 18 x$

Passaggio 2.8.6.6.1.3

Somma $3$ e $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x^{4} + 18 x$

Passaggio 2.8.6.6.2

Moltiplica $18$ per $- 2$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} - 36 x^{4} + 18 x$

Passaggio 2.8.7

Somma $54 x^{7}$ e $18 x^{7}$ .

$72 x^{7} - 54 x^{4} - 36 x^{4} + 18 x$

Passaggio 2.8.8

Sottrai $36 x^{4}$ da $- 54 x^{4}$ .

$f'' (x) = 72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$ .

$72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$