Calcolo Esempi

$y = 3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 3 \sin (x) + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

Passaggio 1.3.5

Somma $1$ e $0$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = 4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 {(x + 2)}^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 {(x + 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$12 {(x + 2)}^{2} - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 2)}^{2} - 3 \cos (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Riscrivi ${(x + 2)}^{2}$ come $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [12 ((x + 2) (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.2

Espandi $(x + 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [12 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.3.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

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Passaggio 3.5.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 (x^{2} + 4 x + 4)$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$12 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.5.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.5.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.5.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.5.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$12 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.5.8

Somma $2 x + 4$ e $0$ .

$12 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Passaggio 3.6

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$12 (2 x + 4) - 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 3.6.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$12 (2 x + 4) - 3 (- \sin (x))$

Passaggio 3.6.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$12 (2 x + 4) + 3 \sin (x)$

Passaggio 3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$12 (2 x) + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

Passaggio 3.7.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.7.2.1

Moltiplica $2$ per $12$ .

$24 x + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

Passaggio 3.7.2.2

Moltiplica $12$ per $4$ .

$f''' (x) = 24 x + 48 + 3 \sin (x)$