Calcolo Esempi

$y = \sec (2 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.2

La derivata di $\sec (u)$ rispetto a $u$ è $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec (2 x)$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

$2 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$2 (\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.4

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 ({\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $2$ e $1$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.6.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.6.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.6.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{3} (2 x)$ .

$2 (2 \cdot \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 2.7.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 2.8

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 2.9

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 2.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 2.11

Somma $1$ e $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 2.12

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 2.14.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \cdot (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)))$

Passaggio 2.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 (2 \sec^{3} (2 x)) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Passaggio 2.15.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \sec^{3} (2 x) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Passaggio 2.15.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$

Passaggio 2.15.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \tan^{2} (2 x)$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.3.2

La derivata di $\sec (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\tan (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\tan (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.7.2

La derivata di $\tan (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $\sec^{2} (u_{3})$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.10

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.11

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.12

Moltiplica $\tan^{2} (2 x)$ per $\tan (2 x)$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.1

Sposta $\tan (2 x)$ .

$4 (\tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.12.2

Moltiplica $\tan (2 x)$ per $\tan^{2} (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.12.2.1

Eleva $\tan (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (\tan^{1} (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.12.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 ({\tan (2 x)}^{1 + 2} (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.12.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 (\tan^{3} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.13

Sposta $2$ alla sinistra di $\tan^{3} (2 x)$ .

$4 (2 \cdot \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.14

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.15

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.16

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.17

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.2.19

Somma $1$ e $2$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sec^{3} (2 x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x)]$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x)]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \sec (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $\sec (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 3.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ è $n {u_{4}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $\sec (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{5}$ come $2 x$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\sec (u_{5})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 3.3.3.2

La derivata di $\sec (u_{5})$ rispetto a $u_{5}$ è $\sec (u_{5}) \tan (u_{5})$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (u_{5}) \tan (u_{5}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{5}$ con $2 x$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Passaggio 3.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2))$

Passaggio 3.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))))$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $2$ per $3$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)))$

Passaggio 3.3.9

Eleva $\sec (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x))$

Passaggio 3.3.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x))$

Passaggio 3.3.11

Somma $1$ e $2$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Passaggio 3.3.12

Moltiplica $6$ per $4$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Passaggio 3.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 (\tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Passaggio 3.4.2.3

Riordina i fattori di $16 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)$ .

$8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Passaggio 3.4.2.4

Somma $16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ e $24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$