Calcolo Esempi

$w = (\frac{1 + 15 z}{5 z}) (15 - z)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ è $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ dove $f (z) = \frac{1 + 15 z}{5 z}$ e $g (z) = 15 - z$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} \frac{d}{d z} [15 - z] + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 - z$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [15] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (\frac{d}{d z} [15] + \frac{d}{d z} [- z]) + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $15$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $15$ rispetto a $z$ è $0$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (0 + \frac{d}{d z} [- z]) + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d z} [- z]$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} \frac{d}{d z} [- z] + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- z$ rispetto a $z$ è $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (- \frac{d}{d z} [z]) + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (- 1 \cdot 1) + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Passaggio 1.2.6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} \cdot - 1 + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Passaggio 1.2.6.2

$\frac{1 + 15 z}{5 z}$ e $- 1$ .

$\frac{(1 + 15 z) \cdot - 1}{5 z} + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Passaggio 1.2.6.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.1

Sposta $- 1$ alla sinistra di $1 + 15 z$ .

$\frac{- 1 \cdot (1 + 15 z)}{5 z} + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Passaggio 1.2.6.3.2

Riscrivi $- 1 (1 + 15 z)$ come $- (1 + 15 z)$ .

$\frac{- (1 + 15 z)}{5 z} + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Passaggio 1.2.6.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Passaggio 1.2.7

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $\frac{1 + 15 z}{5 z}$ rispetto a $z$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{z}]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) (\frac{1}{5} \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{z}])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ è $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ dove $f (z) = 1 + 15 z$ e $g (z) = z$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z \frac{d}{d z} [1 + 15 z] - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + 15 z$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [15 z]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [15 z]) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $1$ rispetto a $z$ è $0$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z (0 + \frac{d}{d z} [15 z]) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d z} [15 z]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z \frac{d}{d z} [15 z] - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 1.4.4

Poiché $15$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $15 z$ rispetto a $z$ è $15 \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z (15 \frac{d}{d z} [z]) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z (15 \cdot 1) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 1.4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.6.1

Moltiplica $15$ per $1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z \cdot 15 - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 1.4.6.2

Sposta $15$ alla sinistra di $z$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{15 \cdot z - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Passaggio 1.4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{15 z - (1 + 15 z) \cdot 1}{z^{2}}$

Passaggio 1.4.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z^{2}}$

Passaggio 1.4.8.2

Moltiplica $\frac{15 z - (1 + 15 z)}{z^{2}}$ per $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z^{2} \cdot 5}$

Passaggio 1.4.8.3

Sposta $5$ alla sinistra di $z^{2}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 \cdot z^{2}}$

Passaggio 1.5

Per scrivere $(15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5 z}{5 z}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}} \cdot \frac{5 z}{5 z}$

Passaggio 1.6

$(15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}}$ e $\frac{5 z}{5 z}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + \frac{(15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}} (5 z)}{5 z}$

Passaggio 1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}} (5 z)}{5 z}$

Passaggio 1.8

$5$ e $\frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}}$ .

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z^{2}} z}{5 z}$

Passaggio 1.9

$z$ e $\frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z^{2}}$ .

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{z (5 (15 z - (1 + 15 z)))}{5 z^{2}}}{5 z}$

Passaggio 1.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Scomponi $z$ da $5 z^{2}$ .

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{z (5 (15 z - (1 + 15 z)))}{z (5 z)}}{5 z}$

Passaggio 1.10.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{z (5 (15 z - (1 + 15 z)))}{z (5 z)}}{5 z}$

Passaggio 1.10.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z}}{5 z}$

Passaggio 1.11

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.11.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z}}{5 z}$

Passaggio 1.11.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (15 z) + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (15 z) + (15 - z) \frac{15 z - 1 \cdot 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1 - (15 z) + (15 - z) \frac{15 z - 1 \cdot 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.2

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{15 z - 1 \cdot 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{15 z - 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.3.2

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{15 z - 1 - 15 z}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.3.3

Sottrai $15 z$ da $15 z$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{0 - 1}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.3.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 - 15 z + 15 (- \frac{1}{z}) - z (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.6

Moltiplica $15 (- \frac{1}{z})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.3.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$\frac{- 1 - 15 z - 15 \frac{1}{z} - z (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.6.2

$- 15$ e $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} - z (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.7

Elimina il fattore comune di $z$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.3.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{z}$ nel numeratore.

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} - z \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.7.2

Scomponi $z$ da $- z$ .

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} + z \cdot - 1 \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} + z \cdot - 1 \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} - 1 \cdot - 1}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} + 1}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- 1 - 15 z - \frac{15}{z} + 1}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.2

Combina i termini opposti in $- 1 - 15 z - \frac{15}{z} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.3.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{- 15 z - \frac{15}{z} + 0}{5 z}$

Passaggio 1.12.3.2.2

Somma $- 15 z - \frac{15}{z}$ e $0$ .

$\frac{- 15 z - \frac{15}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12.4

Elimina il fattore comune di $- 15 z - \frac{15}{z}$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.4.1

Scomponi $5$ da $- 15 z$ .

$\frac{5 (- 3 z) - \frac{15}{z}}{5 z}$

Passaggio 1.12.4.2

Scomponi $5$ da $- \frac{15}{z}$ .

$\frac{5 (- 3 z) + 5 (- \frac{3}{z})}{5 z}$

Passaggio 1.12.4.3

Scomponi $5$ da $5 (- 3 z) + 5 (- \frac{3}{z})$ .

$\frac{5 (- 3 z - \frac{3}{z})}{5 z}$

Passaggio 1.12.4.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.4.4.1

Scomponi $5$ da $5 z$ .

$\frac{5 (- 3 z - \frac{3}{z})}{5 (z)}$

Passaggio 1.12.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (- 3 z - \frac{3}{z})}{5 z}$

Passaggio 1.12.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3 z - \frac{3}{z}}{z}$

Passaggio 1.12.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.5.1

Scomponi $3$ da $- 3 z - \frac{3}{z}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.5.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 z$ .

$\frac{3 (- z) - \frac{3}{z}}{z}$

Passaggio 1.12.5.1.2

Scomponi $3$ da $- \frac{3}{z}$ .

$\frac{3 (- z) + 3 (- \frac{1}{z})}{z}$

Passaggio 1.12.5.1.3

Scomponi $3$ da $3 (- z) + 3 (- \frac{1}{z})$ .

$\frac{3 (- z - \frac{1}{z})}{z}$

Passaggio 1.12.5.2

Per scrivere $- z$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{z}{z}$ .

$\frac{3 (- z \cdot \frac{z}{z} - \frac{1}{z})}{z}$

Passaggio 1.12.5.3

$- z$ e $\frac{z}{z}$ .

$\frac{3 (\frac{- z \cdot z}{z} - \frac{1}{z})}{z}$

Passaggio 1.12.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 \frac{- z \cdot z - 1}{z}}{z}$

Passaggio 1.12.5.5

Moltiplica $z$ per $z$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.5.5.1

Sposta $z$ .

$\frac{3 \frac{- (z \cdot z) - 1}{z}}{z}$

Passaggio 1.12.5.5.2

Moltiplica $z$ per $z$ .

$\frac{3 \frac{- z^{2} - 1}{z}}{z}$

Passaggio 1.12.6

$3$ e $\frac{- z^{2} - 1}{z}$ .

$\frac{\frac{3 (- z^{2} - 1)}{z}}{z}$

Passaggio 1.12.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3 (- z^{2} - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$

Passaggio 1.12.8

Combina.

$\frac{3 (- z^{2} - 1) \cdot 1}{z \cdot z}$

Passaggio 1.12.9

Moltiplica $z$ per $z$ .

$\frac{3 (- z^{2} - 1) \cdot 1}{z^{2}}$

Passaggio 1.12.10

Moltiplica $3 (- z^{2} - 1)$ per $1$ .

$\frac{3 (- z^{2} - 1)}{z^{2}}$

Passaggio 1.12.11

Scomponi $- 1$ da $- z^{2}$ .

$\frac{3 (- (z^{2}) - 1)}{z^{2}}$

Passaggio 1.12.12

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (z^{2}) - 1 (1))}{z^{2}}$

Passaggio 1.12.13

Scomponi $- 1$ da $- (z^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (z^{2} + 1))}{z^{2}}$

Passaggio 1.12.14

Riscrivi $- (z^{2} + 1)$ come $- 1 (z^{2} + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (z^{2} + 1))}{z^{2}}$

Passaggio 1.12.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (z) = - \frac{3 (z^{2} + 1)}{z^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $- \frac{3 (z^{2} + 1)}{z^{2}}$ rispetto a $z$ è $- 3 \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z^{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z^{2}}]$

Passaggio 2.2

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{{(z^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(z^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $z^{2} + 1$ rispetto a $z$ è $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$- 3 \frac{z^{2} (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 \frac{z^{2} (2 z + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $1$ rispetto a $z$ è $0$ .

$- 3 \frac{z^{2} (2 z + 0) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Passaggio 2.3.5

Somma $2 z$ e $0$ .

$- 3 \frac{z^{2} (2 z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $z^{2}$ per $z$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sposta $z$ .

$- 3 \frac{z \cdot z^{2} \cdot 2 - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $z$ per $z^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$- 3 \frac{z^{1} z^{2} \cdot 2 - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Passaggio 2.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 \frac{z^{1 + 2} \cdot 2 - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$- 3 \frac{z^{3} \cdot 2 - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Passaggio 2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $z^{3}$ .

$- 3 \frac{2 \cdot z^{3} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 \frac{2 z^{3} - (z^{2} + 1) (2 z)}{z^{4}}$

Passaggio 2.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 3 \frac{2 z^{3} - 2 (z^{2} + 1) z}{z^{4}}$

Passaggio 2.7.2

$- 3$ e $\frac{2 z^{3} - 2 (z^{2} + 1) z}{z^{4}}$ .

$\frac{- 3 (2 z^{3} - 2 (z^{2} + 1) z)}{z^{4}}$

Passaggio 2.7.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 (2 z^{3} - 2 (z^{2} + 1) z)}{z^{4}}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 (2 z^{3} + (- 2 z^{2} - 2 \cdot 1) z)}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 (2 z^{3} - 2 z^{2} z - 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 (2 z^{3}) + 3 (- 2 z^{2} z) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 z^{2} z) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.4.1.2

Moltiplica $z^{2}$ per $z$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1.2.1

Sposta $z$ .

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 (z \cdot z^{2})) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.4.1.2.2

Moltiplica $z$ per $z^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1.2.2.1

Eleva $z$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 (z^{1} z^{2})) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.4.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 z^{1 + 2}) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.4.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 z^{3}) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.4.1.3

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.4.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} + 3 (- 2 z)}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.4.1.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} - 6 z}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.4.2

Sottrai $6 z^{3}$ da $6 z^{3}$ .

$- \frac{0 - 6 z}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.4.3

Sottrai $6 z$ da $0$ .

$- \frac{- 6 z}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.5

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.8.5.1

Elimina il fattore comune di $z$ e $z^{4}$ .

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Passaggio 2.8.5.1.1

Scomponi $z$ da $- 6 z$ .

$- \frac{z \cdot - 6}{z^{4}}$

Passaggio 2.8.5.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.8.5.1.2.1

Scomponi $z$ da $z^{4}$ .

$- \frac{z \cdot - 6}{z \cdot z^{3}}$

Passaggio 2.8.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{z \cdot - 6}{z \cdot z^{3}}$

Passaggio 2.8.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{- 6}{z^{3}}$

Passaggio 2.8.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{6}{z^{3}}$

Passaggio 2.8.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{6}{z^{3}}$

Passaggio 2.8.5.4

Moltiplica $\frac{6}{z^{3}}$ per $1$ .

$f'' (z) = \frac{6}{z^{3}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $z$ , la derivata di $\frac{6}{z^{3}}$ rispetto a $z$ è $6 \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{3}}]$

Passaggio 3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $\frac{1}{z^{3}}$ come ${(z^{3})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d z} [{(z^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(z^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d z} [z^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$6 \frac{d}{d z} [z^{- 3}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ è $n z^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$6 (- 3 z^{- 4})$

Passaggio 3.4

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$- 18 z^{- 4}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{z^{4}}$

Passaggio 3.5.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.5.2.1

$- 18$ e $\frac{1}{z^{4}}$ .

$\frac{- 18}{z^{4}}$

Passaggio 3.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f''' (z) = - \frac{18}{z^{4}}$