Calcolo Esempi

$y = \frac{\ln (2 x)}{x^{6}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (2 x)$ e $g (x) = x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{{(x^{6})}^{2}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{6})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{6 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (2 x)] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{x^{6} (\frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$\frac{1}{2 x}$ e $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x^{6}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{6}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{6}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.2.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [2 x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{2} (2 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

$2$ e $\frac{x^{5}}{2}$ .

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2 x^{5}}{2} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.4.2.2

Dividi $x^{5}$ per $1$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.6

Moltiplica $x^{5}$ per $1$ .

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) \frac{d}{d x} [x^{6}]}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{x^{5} - \ln (2 x) (6 x^{5})}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.8

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.8.1

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.8.2

Scomponi $x^{5}$ da $x^{5} - 6 \ln (2 x) x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.8.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 - 6 \ln (2 x) x^{5}}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.8.2.2

Scomponi $x^{5}$ da $- 6 \ln (2 x) x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

Passaggio 1.4.8.2.3

Scomponi $x^{5}$ da $x^{5} \cdot 1 + x^{5} (- 6 \ln (2 x))$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{12}}$

Passaggio 1.5

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Scomponi $x^{5}$ da $x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

Passaggio 1.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{5} (1 - 6 \ln (2 x))}{x^{5} x^{7}}$

Passaggio 1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - 6 \ln (2 x)}{x^{7}}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Semplifica $- 6 \ln (2 x)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$\frac{1 - \ln ({(2 x)}^{6})}{x^{7}}$

Passaggio 1.6.2

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$\frac{1 - \ln (2^{6} x^{6})}{x^{7}}$

Passaggio 1.6.3

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (64 x^{6})}{x^{7}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{{(x^{7})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{7})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{7 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [1 - \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \ln (64 x^{6})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{7} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.2.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} \frac{d}{d x} [- \ln (64 x^{6})] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (64 x^{6})$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]$ .

$\frac{x^{7} (- \frac{d}{d x} [\ln (64 x^{6})]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 64 x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $64 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $64 x^{6}$ .

$\frac{x^{7} (- (\frac{1}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}])) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

$x^{7}$ e $\frac{1}{64 x^{6}}$ .

$\frac{- \frac{x^{7}}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.2

Elimina il fattore comune di $x^{7}$ e $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Scomponi $x^{6}$ da $x^{7}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{64 x^{6}} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Scomponi $x^{6}$ da $64 x^{6}$ .

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{x^{6} x}{x^{6} \cdot 64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [64 x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.3

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64 x^{6}$ rispetto a $x$ è $64 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{- \frac{x}{64} (64 \frac{d}{d x} [x^{6}]) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Moltiplica $64$ per $- 1$ .

$\frac{- 64 \frac{x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.4.2

$- 64$ e $\frac{x}{64}$ .

$\frac{\frac{- 64 x}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.4.3

Elimina il fattore comune di $- 64$ e $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.3.1

Scomponi $64$ da $- 64 x$ .

$\frac{\frac{64 (- x)}{64} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.3.2.1

Scomponi $64$ da $64$ .

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 (1)} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{64 (- x)}{64 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{- x}{1} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.4.3.2.4

Dividi $- x$ per $1$ .

$\frac{- x \frac{d}{d x} [x^{6}] - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{- x (6 x^{5}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{- 6 x \cdot x^{5} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $x$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sposta $x^{5}$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $x^{5}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 6 (x^{5} x^{1}) - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 6 x^{5 + 1} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.5.3

Somma $5$ e $1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{7}]}{x^{14}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$\frac{- 6 x^{6} - (1 - \ln (64 x^{6})) (7 x^{6})}{x^{14}}$

Passaggio 2.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$\frac{- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Passaggio 2.7.2

Scomponi $x^{6}$ da $- 6 x^{6} - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.2.1

Scomponi $x^{6}$ da $- 6 x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}}{x^{14}}$

Passaggio 2.7.2.2

Scomponi $x^{6}$ da $- 7 (1 - \ln (64 x^{6})) x^{6}$ .

$\frac{x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

Passaggio 2.7.2.3

Scomponi $x^{6}$ da $x^{6} \cdot - 6 + x^{6} (- 7 (1 - \ln (64 x^{6})))$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{14}}$

Passaggio 2.8

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Scomponi $x^{6}$ da $x^{14}$ .

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Passaggio 2.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{6} (- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6})))}{x^{6} x^{8}}$

Passaggio 2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 6 - 7 (1 - \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

Passaggio 2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 6 - 7 \cdot 1 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

Passaggio 2.9.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1.1

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$\frac{- 6 - 7 - 7 (- \ln (64 x^{6}))}{x^{8}}$

Passaggio 2.9.2.1.2

Moltiplica $- 7 (- \ln (64 x^{6}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$\frac{- 6 - 7 + 7 \ln (64 x^{6})}{x^{8}}$

Passaggio 2.9.2.1.2.2

Semplifica $7 \ln (64 x^{6})$ spostando $7$ all'interno del logaritmo.

$\frac{- 6 - 7 + \ln ({(64 x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Passaggio 2.9.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $64 x^{6}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (64^{7} {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Passaggio 2.9.2.1.4

Eleva $64$ alla potenza di $7$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 {(x^{6})}^{7})}{x^{8}}$

Passaggio 2.9.2.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{6})}^{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{6 \cdot 7})}{x^{8}}$

Passaggio 2.9.2.1.5.2

Moltiplica $6$ per $7$ .

$\frac{- 6 - 7 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$

Passaggio 2.9.2.2

Sottrai $7$ da $- 6$ .

$f'' (x) = \frac{- 13 + \ln (4398046511104 x^{42})}{x^{8}}$