Calcolo Esempi

$y = (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 3 x^{4} + 2 x^{2} + 2$ e $g (x) = e^{4 x}$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Passaggio 1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta $4$ alla sinistra di $(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x}$ .

$4 \cdot ((3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Passaggio 1.3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} + 2 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $4$ per $3$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.3.8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 1.3.11

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x + 0)$

Passaggio 1.3.12

Somma $12 x^{3} + 4 x$ e $0$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 (3 x^{4}) + 4 (2 x^{2}) + 4 \cdot 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x)$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 (3 x^{4}) e^{4 x} + 4 (2 x^{2}) e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x)$

Passaggio 1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 (3 x^{4}) e^{4 x} + 4 (2 x^{2}) e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

Passaggio 1.4.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{4} e^{4 x} + 4 (2 x^{2}) e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

Passaggio 1.4.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$12 x^{4} e^{4 x} + 8 x^{2} e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

Passaggio 1.4.4.3

Moltiplica $4$ per $2$ .

$12 x^{4} e^{4 x} + 8 x^{2} e^{4 x} + 8 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

Passaggio 1.4.5

Riordina i termini.

$f' (x) = 12 e^{4 x} x^{4} + 8 e^{4 x} x^{2} + 12 e^{4 x} x^{3} + 4 e^{4 x} x + 8 e^{4 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 e^{4 x} x^{4} + 8 e^{4 x} x^{2} + 12 e^{4 x} x^{3} + 4 e^{4 x} x + 8 e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 e^{4 x} x^{4}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{4}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{4 x}$ e $g (x) = x^{4}$ .

$12 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{4}] + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.2.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.2.8

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 e^{4 x} x^{2}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{2}]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{4 x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3.8

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 e^{4 x} x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{3}]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{4 x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.4.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ è $a^{u_{3}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.4.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.4.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.4.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.4.7

Moltiplica $4$ per $1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.4.8

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.5

Calcola $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 e^{4 x} x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{4 x}$ e $g (x) = x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.5.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{4}$ come $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.5.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ è $a^{u_{4}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.5.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{4}$ con $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.5.5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.5.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.5.7

Moltiplica $e^{4 x}$ per $1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.5.9

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Passaggio 2.6

Calcola $\frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{5}$ come $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (\frac{d}{d u_{5}} [e^{u_{5}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.6.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{5}} [a^{u_{5}}]$ è $a^{u_{5}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{u_{5}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.6.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{5}$ con $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.6.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.6.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Passaggio 2.6.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} \cdot 4)$

Passaggio 2.6.6

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (4 \cdot e^{4 x})$

Passaggio 2.6.7

Moltiplica $4$ per $8$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.1

Moltiplica $4$ per $12$ .

$48 (e^{4 x} (x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5.2

Moltiplica $4$ per $12$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 (x^{4} (e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5.3

Moltiplica $2$ per $8$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 (e^{4 x} (x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5.4

Moltiplica $4$ per $8$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 (x^{2} (e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5.5

Moltiplica $3$ per $12$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 x^{2} e^{4 x} + 36 (e^{4 x} (x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5.6

Moltiplica $4$ per $12$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 x^{2} e^{4 x} + 36 e^{4 x} x^{2} + 48 (x^{3} (e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5.7

Somma $32 x^{2} e^{4 x}$ e $36 e^{4 x} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.7.1

Sposta $e^{4 x}$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 x^{2} e^{4 x} + 36 x^{2} e^{4 x} + 48 x^{3} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5.7.2

Somma $32 x^{2} e^{4 x}$ e $36 x^{2} e^{4 x}$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 48 x^{3} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5.8

Somma $48 e^{4 x} x^{3}$ e $48 x^{3} e^{4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.8.1

Sposta $e^{4 x}$ .

$48 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5.8.2

Somma $48 x^{3} e^{4 x}$ e $48 x^{3} e^{4 x}$ .

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5.9

Moltiplica $4$ per $4$ .

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 16 (x (e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5.10

Somma $16 e^{4 x} x$ e $16 x e^{4 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.5.10.1

Sposta $e^{4 x}$ .

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5.10.2

Somma $16 x e^{4 x}$ e $16 x e^{4 x}$ .

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 32 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 32 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.5.11

Somma $4 e^{4 x}$ e $32 e^{4 x}$ .

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 32 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 36 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.6

Riordina i termini.

$96 e^{4 x} x^{3} + 48 e^{4 x} x^{4} + 32 e^{4 x} x + 68 e^{4 x} x^{2} + 36 e^{4 x}$

Passaggio 2.7.7

Riordina i fattori in $96 e^{4 x} x^{3} + 48 e^{4 x} x^{4} + 32 e^{4 x} x + 68 e^{4 x} x^{2} + 36 e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 32 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 36 e^{4 x}$