Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{5} \tan (9 x - 5)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{5} \cdot \tan (9 x - 5)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\tan (9 x - 5)]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\tan (9 x - 5)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 9 x - 5$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x - 5$ .

$\frac{1}{5} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{5} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x - 5$ .

$\frac{1}{5} (\sec^{2} (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

$\sec^{2} (9 x - 5)$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} \frac{d}{d x} [9 x - 5]$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 1.3.6

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 + 0)$

Passaggio 1.3.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.3.7.1

Somma $9$ e $0$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5} \cdot 9$

Passaggio 1.3.7.2

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5)}{5}$ e $9$ .

$\frac{\sec^{2} (9 x - 5) \cdot 9}{5}$

Passaggio 1.3.7.3

Sposta $9$ alla sinistra di $\sec^{2} (9 x - 5)$ .

$f' (x) = \frac{9 \sec^{2} (9 x - 5)}{5}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{9}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9 \sec^{2} (9 x - 5)}{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (9 x - 5)]$ .

$\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (9 x - 5)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (9 x - 5)$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (9 x - 5)$ .

$\frac{9}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{9}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (9 x - 5)$ .

$\frac{9}{5} (2 \sec (9 x - 5) \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)])$

Passaggio 2.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.3.1

$2$ e $\frac{9}{5}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{5} (\sec (9 x - 5) \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)])$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{18}{5} (\sec (9 x - 5) \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)])$

Passaggio 2.3.3

$\sec (9 x - 5)$ e $\frac{18}{5}$ .

$\frac{\sec (9 x - 5) \cdot 18}{5} \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)]$

Passaggio 2.3.4

Sposta $18$ alla sinistra di $\sec (9 x - 5)$ .

$\frac{18 \cdot \sec (9 x - 5)}{5} \frac{d}{d x} [\sec (9 x - 5)]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 9 x - 5$ .

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Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $9 x - 5$ .

$\frac{18 \sec (9 x - 5)}{5} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Passaggio 2.4.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{18 \sec (9 x - 5)}{5} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $9 x - 5$ .

$\frac{18 \sec (9 x - 5)}{5} (\sec (9 x - 5) \tan (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Passaggio 2.5

$\sec (9 x - 5)$ e $\frac{18 \sec (9 x - 5)}{5}$ .

$\frac{\sec (9 x - 5) (18 \sec (9 x - 5))}{5} (\tan (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Passaggio 2.6

Eleva $\sec (9 x - 5)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{18 (\sec^{1} (9 x - 5) \sec (9 x - 5))}{5} (\tan (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Passaggio 2.7

Eleva $\sec (9 x - 5)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{18 (\sec^{1} (9 x - 5) \sec^{1} (9 x - 5))}{5} (\tan (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Passaggio 2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{18 {\sec (9 x - 5)}^{1 + 1}}{5} (\tan (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Passaggio 2.9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.9.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{18 \sec^{2} (9 x - 5)}{5} (\tan (9 x - 5) \frac{d}{d x} [9 x - 5])$

Passaggio 2.9.2

$\tan (9 x - 5)$ e $\frac{18 \sec^{2} (9 x - 5)}{5}$ .

$\frac{\tan (9 x - 5) (18 \sec^{2} (9 x - 5))}{5} \frac{d}{d x} [9 x - 5]$

Passaggio 2.9.3

Sposta $18$ alla sinistra di $\tan (9 x - 5)$ .

$\frac{18 \cdot \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} \frac{d}{d x} [9 x - 5]$

Passaggio 2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 2.11

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 2.13

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Passaggio 2.14

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} (9 + 0)$

Passaggio 2.15

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.15.1

Somma $9$ e $0$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5} \cdot 9$

Passaggio 2.15.2

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5}$ e $9$ .

$\frac{18 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5) \cdot 9}{5}$

Passaggio 2.15.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.15.3.1

Moltiplica $9$ per $18$ .

$\frac{162 \tan (9 x - 5) \sec^{2} (9 x - 5)}{5}$

Passaggio 2.15.3.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{162 \sec^{2} (9 x - 5) \tan (9 x - 5)}{5}$