Calcolo Esempi

$r = \frac{1}{3 s^{2}} - \frac{7}{4 s^{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3 s^{2}} - \frac{7}{4 s^{3}}$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3 s^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $\frac{1}{3 s^{2}}$ rispetto a $s$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{2}}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{s^{2}}$ come ${(s^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ è $f' (g (s)) g' (s)$ dove $f (s) = s^{- 1}$ e $g (s) = s^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $s^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{3} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $s^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{2}]) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (- {(s^{2})}^{- 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(s^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (- s^{2 \cdot - 2} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{1}{3} (- s^{- 4} (2 s)) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 4} s) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.7

Eleva $s$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 (s^{1} s^{- 4})) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{3} (- 2 s^{1 - 4}) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$\frac{1}{3} (- 2 s^{- 3}) + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.10

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 2}{3} s^{- 3} + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.11

$\frac{- 2}{3}$ e $s^{- 3}$ .

$\frac{- 2 s^{- 3}}{3} + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.12

Sposta $s^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.2.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d s} [- \frac{7}{4 s^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- \frac{7}{4}$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $- \frac{7}{4 s^{3}}$ rispetto a $s$ è $- \frac{7}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{7}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{s^{3}}$ come ${(s^{3})}^{- 1}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{7}{4} \frac{d}{d s} [{(s^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ è $f' (g (s)) g' (s)$ dove $f (s) = s^{- 1}$ e $g (s) = s^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $s^{3}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{7}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{3}])$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{7}{4} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}])$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $s^{3}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{7}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{7}{4} (- {(s^{3})}^{- 2} (3 s^{2}))$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(s^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{7}{4} (- s^{3 \cdot - 2} (3 s^{2}))$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{7}{4} (- s^{- 6} (3 s^{2}))$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{7}{4} (- 3 s^{- 6} s^{2})$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $s^{- 6}$ per $s^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Sposta $s^{2}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{7}{4} (- 3 (s^{2} s^{- 6}))$

Passaggio 1.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{7}{4} (- 3 s^{2 - 6})$

Passaggio 1.3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} - \frac{7}{4} (- 3 s^{- 4})$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + 3 (\frac{7}{4}) s^{- 4}$

Passaggio 1.3.9

$3$ e $\frac{7}{4}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{3 \cdot 7}{4} s^{- 4}$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $3$ per $7$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{21}{4} s^{- 4}$

Passaggio 1.3.11

$\frac{21}{4}$ e $s^{- 4}$ .

$- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{21 s^{- 4}}{4}$

Passaggio 1.3.12

Sposta $s^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (s) = - \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{21}{4 s^{4}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{2}{3 s^{3}} + \frac{21}{4 s^{4}}$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [- \frac{2}{3 s^{3}}] + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$ .

$\frac{d}{d s} [- \frac{2}{3 s^{3}}] + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d s} [- \frac{2}{3 s^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $- \frac{2}{3 s^{3}}$ rispetto a $s$ è $- \frac{2}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{3}}] + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{s^{3}}$ come ${(s^{3})}^{- 1}$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d s} [{(s^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ è $f' (g (s)) g' (s)$ dove $f (s) = s^{- 1}$ e $g (s) = s^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $s^{3}$ .

$- \frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{2}{3} (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $s^{3}$ .

$- \frac{2}{3} (- {(s^{3})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{3}]) + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (- {(s^{3})}^{- 2} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(s^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3} (- s^{3 \cdot - 2} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$- \frac{2}{3} (- s^{- 6} (3 s^{2})) + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{2}{3} (- 3 s^{- 6} s^{2}) + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $s^{- 6}$ per $s^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Sposta $s^{2}$ .

$- \frac{2}{3} (- 3 (s^{2} s^{- 6})) + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{2}{3} (- 3 s^{2 - 6}) + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$- \frac{2}{3} (- 3 s^{- 4}) + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$3 (\frac{2}{3}) s^{- 4} + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.9

$3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} s^{- 4} + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6}{3} s^{- 4} + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.11

$\frac{6}{3}$ e $s^{- 4}$ .

$\frac{6 s^{- 4}}{3} + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.12

Sposta $s^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{3 s^{4}} + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.13

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 s^{4}} + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.2.1

Scomponi $3$ da $3 s^{4}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (s^{4})} + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 2}{3 s^{4}} + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d s} [\frac{21}{4 s^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{21}{4}$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $\frac{21}{4 s^{4}}$ rispetto a $s$ è $\frac{21}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{21}{4} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{s^{4}}$ come ${(s^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{21}{4} \frac{d}{d s} [{(s^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ è $f' (g (s)) g' (s)$ dove $f (s) = s^{- 1}$ e $g (s) = s^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $s^{4}$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{21}{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{21}{4} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $s^{4}$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{21}{4} (- {(s^{4})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{21}{4} (- {(s^{4})}^{- 2} (4 s^{3}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(s^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{21}{4} (- s^{4 \cdot - 2} (4 s^{3}))$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{21}{4} (- s^{- 8} (4 s^{3}))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{21}{4} (- 4 s^{- 8} s^{3})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $s^{- 8}$ per $s^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Sposta $s^{3}$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{21}{4} (- 4 (s^{3} s^{- 8}))$

Passaggio 2.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{21}{4} (- 4 s^{3 - 8})$

Passaggio 2.3.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{21}{4} (- 4 s^{- 5})$

Passaggio 2.3.8

$- 4$ e $\frac{21}{4}$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{- 4 \cdot 21}{4} s^{- 5}$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $- 4$ per $21$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{- 84}{4} s^{- 5}$

Passaggio 2.3.10

$\frac{- 84}{4}$ e $s^{- 5}$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{- 84 s^{- 5}}{4}$

Passaggio 2.3.11

Sposta $s^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{- 84}{4 s^{5}}$

Passaggio 2.3.12

Elimina il fattore comune di $- 84$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.1

Scomponi $4$ da $- 84$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{4 \cdot - 21}{4 s^{5}}$

Passaggio 2.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.2.1

Scomponi $4$ da $4 s^{5}$ .

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{4 \cdot - 21}{4 (s^{5})}$

Passaggio 2.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{4 \cdot - 21}{4 s^{5}}$

Passaggio 2.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{s^{4}} + \frac{- 21}{s^{5}}$

Passaggio 2.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (s) = \frac{2}{s^{4}} - \frac{21}{s^{5}}$