Calcolo Esempi

$y = 4 x \sin^{-1} (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x \sin^{-1} (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x \sin^{-1} (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin^{-1} (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)] + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

La derivata di $\sin^{-1} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$4 (x \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

$x$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $\sin^{-1} (x)$ per $1$ .

$4 (\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \sin^{-1} (x))$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$

Passaggio 1.5.2

$4$ e $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 4 \sin^{-1} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{\sqrt{1 - x^{2}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - x^{2}}$ come ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x^{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x^{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.8

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.11

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.12

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.14.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.16

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.17

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.18

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.19

$- 2$ e $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.20

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.21

Sposta ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.22

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.23

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.23.1

Scomponi $2$ da $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.23.2

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.23.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.24

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.25

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 x \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.26

Moltiplica $x$ per $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.27

$x$ e $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.28

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.29

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.30

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.31

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.32

Per scrivere ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.33

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.34

Moltiplica ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.34.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.34.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.34.3

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.34.4

Dividi $2$ per $2$ .

$4 \frac{\frac{{(1 - x^{2})}^{1} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.35

Semplifica ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$4 \frac{\frac{1 - x^{2} + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.36

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$4 \frac{\frac{1 + 0}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.37

Somma $1$ e $0$ .

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.38

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.38.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.38.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.38.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.38.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{{(1 - x^{2})}^{1}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.39

Semplifica.

$4 \frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.40

Riscrivi $\frac{\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{2}}$ come un prodotto.

$4 (\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.41

Moltiplica $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{2})} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.42

Moltiplica ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1 - x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.42.1

Moltiplica ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.42.1.1

Eleva $1 - x^{2}$ alla potenza di $1$ .

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{1}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.42.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.42.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.42.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.42.4

Somma $1$ e $2$ .

$4 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.2.43

$4$ e $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \sin^{-1} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \sin^{-1} (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{d}{d x} [\sin^{-1} (x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin^{-1} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 4 \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 2.3.3

$4$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$

Passaggio 2.4.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 2.4.1.2

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 2.4.1.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.3.1

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ per $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 2.4.1.3.2

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Passaggio 2.4.1.3.3

Eleva $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Passaggio 2.4.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.4.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Passaggio 2.4.1.3.6

Riscrivi ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ come $(1 + x) (1 - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ come ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.4.1.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.4.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.4.1.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.4.1.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Passaggio 2.4.1.3.6.5

Semplifica.

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.2

Per scrivere $\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.3

Per scrivere $\frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Moltiplica $\frac{4}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ per $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((1 + x) (1 - x))} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $\frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ per $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((1 + x) (1 - x))} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.4.3

Riordina i fattori di ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} ((1 + x) (1 - x))$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.4.4

Riordina i fattori di $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \frac{4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Scomponi $4$ da $4 (1 + x) (1 - x) + 4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1.1

Scomponi $4$ da $4 (1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.1.2

Scomponi $4$ da $4 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.1.3

Scomponi $4$ da $4 ((1 + x) (1 - x)) + 4 (\sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ come ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 ((1 + x) (1 - x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.3

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (1 (1 - x) + x (1 - x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.4.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{4 (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.4.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\frac{4 (1 - x + x \cdot 1 + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.4.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{4 (1 - x + x + x (- x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.4.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 (1 - x + x - x \cdot x + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.4.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.4.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 (1 - x + x - (x \cdot x) + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.4.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 (1 - x + x - x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.4.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{4 (1 + 0 - x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.4.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.5

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 (1 - x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.6.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.6.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.6.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.6.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.6.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.6.1.5.1

Sposta $x$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.6.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x + x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.6.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.6.3

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.7

Moltiplica ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.7.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.7.3

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{\frac{4}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.7.4

Dividi $4$ per $2$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + {(1 - x^{2})}^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.8

Riscrivi ${(1 - x^{2})}^{2}$ come $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + (1 - x^{2}) (1 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.9

Espandi $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 (1 - x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.10

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.10.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.10.1.2

Moltiplica $- x^{2}$ per $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.10.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - x^{2} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.10.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.10.1.5

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.10.1.5.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.10.1.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.10.1.5.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.10.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} + 1 x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.10.1.7

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - x^{2} - x^{2} + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.10.2

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{4 (1 - x^{2} + 1 - 2 x^{2} + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.11

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 2 - 2 x^{2} + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.12

Sottrai $2 x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 2 + x^{4})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.13

Riordina i termini.

$\frac{4 (x^{4} - 3 x^{2} + 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.14

Riscrivi $x^{4} - 3 x^{2} + 2$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.14.1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{4 ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} + 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.14.2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$\frac{4 (u^{2} - 3 u + 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.14.3

Scomponi $u^{2} - 3 u + 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.4.6.14.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $2$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 2, - 1$

Passaggio 2.4.6.14.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{4 ((u - 2) (u - 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.14.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{4 ((x^{2} - 2) (x^{2} - 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.14.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{4 ((x^{2} - 2) (x^{2} - 1^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.6.14.6

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{4 ((x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.7

Riordina i termini.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (x + 1) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.8

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x + 1) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (x + 1) (1 - x)}$

Passaggio 2.4.9

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (x - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

Passaggio 2.4.10

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x) - 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

Passaggio 2.4.11

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x) - 1 (1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

Passaggio 2.4.12

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- x) - 1 (1)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x + 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (1 - x)}$

Passaggio 2.4.13

Riordina i termini.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x + 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (- x + 1)}$

Passaggio 2.4.14

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (x^{2} - 2) (- 1 (- x + 1))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} (- x + 1)}$

Passaggio 2.4.15

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (x^{2} - 2) \cdot (- 1)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.16

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{- 4 (x^{2} - 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.4.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4 (x^{2} - 2)}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$