Calcolo Esempi

$y = 2 \sec (5 x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sec (5 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\sec (u)$ rispetto a $u$ è $\sec (u) \tan (u)$ .

$2 (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x$ .

$2 (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$10 \sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 \sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 1$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f' (x) = 10 \sec (5 x) \tan (5 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 \sec (5 x) \tan (5 x)$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [\sec (5 x) \tan (5 x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sec (5 x) \tan (5 x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \sec (5 x)$ e $g (x) = \tan (5 x)$ .

$10 (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [\tan (5 x)] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $5 x$ .

$10 (\sec (5 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\tan (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\sec^{2} (u_{1})$ .

$10 (\sec (5 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 x$ .

$10 (\sec (5 x) (\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Passaggio 2.4

Eleva $\sec (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$10 (\sec^{2} (5 x) \sec^{1} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Passaggio 2.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 ({\sec (5 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Passaggio 2.6

Differenzia.

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Passaggio 2.6.1

Somma $2$ e $1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Passaggio 2.6.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Passaggio 2.6.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) (5 \cdot 1) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Passaggio 2.6.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.6.4.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$10 (\sec^{3} (5 x) \cdot 5 + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Passaggio 2.6.4.2

Sposta $5$ alla sinistra di $\sec^{3} (5 x)$ .

$10 (5 \cdot \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Passaggio 2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 2.7.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 2.8

Eleva $\tan (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{1} (5 x) \tan (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 2.9

Eleva $\tan (5 x)$ alla potenza di $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{1} (5 x) \tan^{1} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 2.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + {\tan (5 x)}^{1 + 1} (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 2.11

Somma $1$ e $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) (\sec (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$

Passaggio 2.12

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) (5 \cdot 1))$

Passaggio 2.14

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.14.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) \cdot 5)$

Passaggio 2.14.2

Sposta $5$ alla sinistra di $\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)$ .

$10 (5 \sec^{3} (5 x) + 5 \cdot (\tan^{2} (5 x) \sec (5 x)))$

Passaggio 2.15

Semplifica.

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Passaggio 2.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$10 (5 \sec^{3} (5 x)) + 10 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x))$

Passaggio 2.15.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.15.2.1

Moltiplica $5$ per $10$ .

$50 \sec^{3} (5 x) + 10 (5 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x))$

Passaggio 2.15.2.2

Moltiplica $5$ per $10$ .

$50 \sec^{3} (5 x) + 50 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x)$

Passaggio 2.15.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 50 \tan^{2} (5 x) \sec (5 x) + 50 \sec^{3} (5 x)$