Calcolo Esempi

$y = 7 x^{2} + 2 x - e^{4 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x^{2} + 2 x - e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x^{2}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$14 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$14 x + 2 + \frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{4 x}]$ .

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Passaggio 1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$14 x + 2 - \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 1.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$14 x + 2 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 1.4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$14 x + 2 - (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 1.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 1.4.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 1.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Passaggio 1.4.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$14 x + 2 - (e^{4 x} \cdot 4)$

Passaggio 1.4.6

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$14 x + 2 - (4 \cdot e^{4 x})$

Passaggio 1.4.7

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = 14 x + 2 - 4 e^{4 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $14 x + 2 - 4 e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $14$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $14 x$ rispetto a $x$ è $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $14$ per $1$ .

$14 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Passaggio 2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$14 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 e^{4 x}]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 e^{4 x}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$14 + 0 - 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$14 + 0 - 4 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.4.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$14 + 0 - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 2.4.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 2.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$14 + 0 - 4 (e^{4 x} \cdot 4)$

Passaggio 2.4.6

Sposta $4$ alla sinistra di $e^{4 x}$ .

$14 + 0 - 4 (4 \cdot e^{4 x})$

Passaggio 2.4.7

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$14 + 0 - 16 e^{4 x}$

Passaggio 2.5

Somma $14$ e $0$ .

$f'' (x) = 14 - 16 e^{4 x}$