Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{4} \tan (2 x + 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4} \cdot \tan (2 x + 1)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\tan (u)$ rispetto a $u$ è $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

$\sec^{2} (2 x + 1)$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.3.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + 0)$

Passaggio 1.3.7

Semplifica i termini.

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Passaggio 1.3.7.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \cdot 2$

Passaggio 1.3.7.2

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4}$ e $2$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1) \cdot 2}{4}$

Passaggio 1.3.7.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (2 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec^{2} (2 x + 1)}{4}$

Passaggio 1.3.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.4.1

Scomponi $2$ da $2 \sec^{2} (2 x + 1)$ .

$\frac{2 (\sec^{2} (2 x + 1))}{4}$

Passaggio 1.3.7.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.3.7.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.7.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.3.7.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (2 x + 1)$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (2 \sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Passaggio 2.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.3.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} (\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Passaggio 2.3.2

$\sec (2 x + 1)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x + 1) \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Passaggio 2.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Passaggio 2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Passaggio 2.3.4.2

Dividi $\sec (2 x + 1)$ per $1$ .

$\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x + 1$ .

$\sec (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 2.4.2

La derivata di $\sec (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\sec (2 x + 1) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x + 1$ .

$\sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 2.5

Eleva $\sec (2 x + 1)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 2.6

Eleva $\sec (2 x + 1)$ alla potenza di $1$ .

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec^{1} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\sec (2 x + 1)}^{1 + 1} (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Passaggio 2.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.13

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + 0)$

Passaggio 2.14

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.14.1

Somma $2$ e $0$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \cdot 2$

Passaggio 2.14.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$